Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

UNICAMP, Cálculo 3, P3 - 2015.2 - Noturno, Questão 2

Considere a EDO linear de segunda ordem

4 - x 2 y ' ' + 2 y = 0

  1. Determine o raio mínimo das series de potências das soluções da EDO em torno do ponto ordinário x = 0 .
  2. Determine a solução geral da equação, em torno do ponto x = 0 , usando séries de potências. Encontre a relação de recorrência e duas soluções linearmente independentes em séries de potencias, indicando o termo geral de cada solução.

Passo 1

a)

O primeiro passo é verificar que que x = 0 é um ponto ordinário. Já que P x = 4 - x 2 e P 0 = 4 0 , então ele é de fato ordinário. Agora vamos reescrever a edo no seguinte formato.

y ' ' + p x y ' + q x y = 0

y ' ' + 0 y ' + 2 4 - x 2 y = 0

p x = 0 q x = 2 4 - x 2

Temos agora que analisar o raio de convergência da expansão em série de potencias de p ( x ) e q ( x ) para determinar o raio mínimo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como p x = 0 o raio será infinito.

R 1 =

A função q ( x ) diverge quando x = 2   o u   x = - 2 então o raio de convergência dessa função em torno de x 0 = 0 será 2 uma vez que no intervalo ( - 2,2 ) s nossa série converge em todos os pontos.

R 2 = 2

Logo o raio mínimo será 2 já que 2 <

R m i n = 2    

Passo 3

b)

Vamos buscar uma solução em série para esta equação. Assim, admitimos uma função analítica com as seguintes características:

f x = n = 0 c n   x n

f ' x = n = 1 c n   n x n - 1

f ' ' x = n = 2 c n   n ( n - 1 ) x n - 2

Passo 4

Vamos, agora, introduzir as fórmulas na equação:

4 - x 2 y ' ' + 2 y = 0

4 - x 2 n = 2 c n   n n - 1 x n - 2 + 2 n = 0 c n   x n = 0

Assim, vamos colocar todos os x e coeficientes para dentro dos somatórios.

n = 2 4 c n   n n - 1 x n - 2 - n = 2 c n   n n - 1 x n + 2 n = 0 c n   x n = 0

Passo 5

E vamos deixar sempre x n dentro. Para isso, necessitamos fazer um deslocamento no índice do primeiro somatório.

n = 2 4   n ( n - 1 ) x n - 2 = n = 0 4 c n + 2   ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n

Logo:

n = 0 4 c n + 2   ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n - n = 2 c n   n n - 1 x n + 2 n = 0 c n   x n = 0

Passo 6

Agora, vamos deixar todos os somatórios a partir do maior valor inicial de n   ( n = 2 ), tirando os termos que sobram do somatório:

n = 0 4 c n + 2   ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n = 4 c 2 . 2.1 + 4 c 3 . 3.2 . x + n = 2 3 c n + 2   ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n

2 n = 0 c n   x n = 2 c 0 + 2 c 1 . x + n = 2 2 c n   x n

Assim, fica:

8 c 2 + 24 c 3 x + n = 2 4 c n + 2   ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n - n = 2 c n   n n - 1 x n + 2 c 0 + 2 c 1 . x + n = 2 2 c n   x n = 0

E podemos juntar os somatórios:

8 c 2 + 24 c 3 x + 2 c 0 + 2 c 1 x + n = 2 4 c n + 2   n + 2 n + 1 - c n   n   n - 1 + 2 c n   x n = 0

Passo 7

Como a equação é igual a um polinômio nulo, podemos dizer.

8 c 2 + 2 c 0 = 0 c 2 = - 2 8 c 0

24 c 3 + 2 c 1 = 0 c 3 = - 2 24 c 1

4 c n + 2   n + 2 n + 1 - c n   n   n - 1 + 2 c n = 0

De onde obtemos a relação de recorrência:

4 c n + 2   n + 2 n + 1 - c n   n   n - 1 - 2 = 0

c n + 2   = n 2 - n - 2 4 n + 2 n + 1 c n

Vamos analisar os casos de n = 0   e   n = 1 para saber se essa forma é válida para eles.

c 2 = 0 - 0 - 2 4 ( 0 + 2 ) ( 0 + 1 ) c 0 = - 2 8 c 0  

c 3 = 1 - 1 - 2 4 1 + 2 ( 1 + 1 ) c 1 = - 2 24 c 1

Logo a equação é válida para n 0

Passo 8

Vamos analisar os números pares da nossa relação e recorrência.

a 2 = - a 0 4

a 4 = 0 48 c 2 = 0

A partir dai todos os termos pares serão zero já que a 6 será multiplicado por a 4 e será zero e assim por diante.

Logo dos termos pares só teremos

a 0 ,     - a 0 4

Isso formará a seguinte equação formada pelos termos pares.

y 1 x = a 0 - a 0 4 x 2

Analisando os termos impares

a 3 = - 1 4.3 a 1  

a 5 = 1 4.5 a 3 = - 1 4 2 . 3.5 a 1

a 7 = 3 4.7 a 5 = - 1 4 3 5.7 a 1

Já da pra notar um padrão que será

a 2 n + 1 = - a 1 4 n 2 n - 1 2 n + 1

Assim teremos a seguinte equação

y 2 x = a 1 x - n = 1 x 2 n + 1 4 n 2 n - 1 2 n + 1

Logo encontramos nossas duas soluções independentes da EDO.

y 1 x = a 0 - a 0 4 x 2 y 2 x = a 1 x - n = 1 x 2 n + 1 4 n 2 n - 1 2 n + 1

Resposta

a)

R = 2

b)

c n + 2   = n 2 - n - 2 4 n + 2 n + 1 c n

y 1 x = a 0 - a 0 4 x 2 y 2 x = a 1 x - n = 1 x 2 n + 1 4 n 2 n - 1 2 n + 1

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