Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

UNICAMP - (Cálculo 3) - P2 2020.1

Considere o seguinte problema de valor inicial:

y ' ' + 4 x y ' + 4 x 2 + 2 y = 0

y 0 = 1

y ' 0 = 1

  • Mostre que x 0 = 0 é um ponto ordinário.
  • Obtenha os 8 primeiros termos não nulos da solução em série em torno do ponto x 0 = 0 .

Passo 1

Falai galera, tudo certinho? Pra começar vamos provar que x 0 = 0 é um ponto ordinário. Como geralmente a gente conversa sobre pontos ordinários em EDO’s com essa cara:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

E temos essa EDO:

y ' ' + 4 x y ' + 4 x 2 + 2 y = 0

Pô, então podemos comparar um com o outro e obter:

P x = 1 Q x = 4 x R x = 4 x 2 + 2

Show de bola! E galera, basta P x 0 ≠ 0 pra que x 0 seja de fato um ponto ordinário! Como P x = 3 é uma função constante, então tá na mão, provadíssimo, que x 0 = 0 é um ponto ordinário. Nesse caso, a solução do problema será:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Antes de mais nada, vamos ver a condição de contorno, ok? Ela vai acabar nos ajudando a beça! Veja que, se fizermos x = 0 na EDO, achamos:

y ' ' 0 + 4 ∙ 0 ∙ y ' 0 + 4 ∙ 0 2 + 2 ∙ y 0 = 0

y ' ' 0 + 2 ∙ y 0 = 0

Aproveitando que y 0 = 1 , chegamos a:

y ' ' 0 + 2 = 0

y ' ' 0 = - 2

Só que, como y x é uma série de potência, temos que, se:

y x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + …

Suas derivadas serão:

y ' x = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + 4 a 4 x 3 + …

y ' ' x = 2 a 2 + 6 a 3 x + 12 a 4 x 2 + …

Portanto temos ai na mão os três primeiros termos da série:

y 0 = a 0 = 1 y ' 0 = a 1 = 1 y ' ' 0 = 2 a 2 = - 2

Logo:

a 0 = 1 a 1 = 1 a 2 = - 1

Show! A questão pede na verdade os 7 primeiros termos, então falta achar a 3 , a 4 , e t c até termos 8 não nulos.

Passo 3

Show galera! Um bom começo é ver que se a solução tem aquela cara de série de potências e a EDO tem derivadas primeira e segunda, vamos precisar derivar o somatório! Vamos obter então:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2

E colocando todos eles dentro da EDO, temos:

y ' ' + 4 x y ' + 4 x 2 + 2 y = 0

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + 4 x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + 4 x 2 + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Nos dois primeiros somatórios eu vou por o que ta multiplicando do lado de fora pra dentro, ok? No terceiro vou fazer isso também, mas vou primeiro aplicar a distributiva. Obteremos:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ 4 n a n x n + 4 x 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ 4 n a n x n + ∑ n = 0 ∞ 4 a n x n + 2 + ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n = 0

Beleeeeza, agora óia só. Tem somatório demais. Bora reduzir isso ai e colocar tudo num somatório só. Podemos deixar os três últimos com a mesma potência do primeiro, isto é, x n . Pro primeiro somatório, substituindo n → n + 2 , ficamos com:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 → ∑ n + 2 = 2 ∞ n + 2 n + 2 - 1 a n + 2 x n + 2 - 2

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 → ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n

No terceiro somatório, substituindo n → n - 2 , temos:

∑ n = 0 ∞ 4 a n x n + 2 → ∑ n - 2 = 0 ∞ 4 a n - 2 x n - 2 + 2

∑ n = 0 ∞ 4 a n x n + 2 → ∑ n = 2 ∞ 4 a n - 2 x n

Colocando os somatórios substituídos na EDO, achamos:

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n + ∑ n = 1 ∞ 4 n a n x n + ∑ n = 2 ∞ 4 a n - 2 x n + ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n = 0

Show! Agora pra gente terminar de juntar os somatórios falta só colocarmos todos eles começando no mesmo n . Pra isso, abrimos o primeiro somatório para:

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n = 2 a 2 + 6 a 3 x + ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n = - 2 + 6 a 3 x + ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n

Abrindo o segundo somatório:

∑ n = 1 ∞ 4 n a n x n = 4 a 1 x + ∑ n = 2 ∞ 4 n a n x n

∑ n = 1 ∞ 4 n a n x n = 4 x + ∑ n = 2 ∞ 4 n a n x n

E abrindo o quarto somatório, temos:

∑ n = 0 ∞ 2 a n x n = 2 a 0 + 2 a 1 x + ∑ n = 2 ∞ 2 a n x n

∑ n = 0 ∞ 2 a n x n = 2 + 2 x + ∑ n = 2 ∞ 2 a n x n

Juntando tudo, temos:

- 2 + 6 a 3 x + 4 x + 2 + 2 x + ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n + ∑ n = 1 ∞ 4 n a n x n + ∑ n = 2 ∞ 4 a n - 2 x n + ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n = 0

6 a 3 x + 4 x + 2 x + ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 + 4 n + 2 a n + 4 a n - 2 x n = 0

O que gera o seguinte sisteminha:

6 a 3 x + 4 x + 2 x = 0 n + 2 n + 1 a n + 2 + 4 n + 2 a n + 4 a n - 2 = 0

Passo 4

Show galera, agora vamos trabalhar com aquele sisteminha. Veja que em:

6 a 3 x + 4 x + 2 x = 0

6 a 3 + 4 + 2 ∙ x = 0

Resultado x = 0 é uma solução trivial! Desconsiderando essa, temos:

6 a 3 + 4 + 2 = 0

6 a 3 + 6 = 0

6 a 3 = - 6

a 3 = - 1

Pra segunda equação, podemos colocar em evidência o termo de a com maior subscrito:

n + 2 n + 1 a n + 2 + 4 n + 2 a n + 4 a n - 2 = 0

n + 2 n + 1 a n + 2 = - 4 a n - 2 + 4 n + 2 a n

a n + 2 = - 4 a n - 2 + 4 n + 2 a n n + 2 n + 1

Como o somatório começa em n = 2 , aqui também vai começar! Sendo assim, vamos ter, pra n = 2,3 , 4,5 , 6 os seguintes resultados:

a 4 = - 4 ∙ a 0 + 10 ∙ a 2 4 ∙ 3

a 5 = - 4 ∙ a 1 + 14 ∙ a 3 5 ∙ 4

a 6 = - 4 ∙ a 2 + 18 ∙ a 4 6 ∙ 5

a 7 = - 4 ∙ a 3 + 22 ∙ a 5 7 ∙ 6

Substituindo, achamos:

a 4 = - 4 ∙ 1 + 10 ∙ - 1 4 ∙ 3 = 6 4 ∙ 3 = 1 2

a 5 = - 4 ∙ 1 + 14 ∙ - 1 5 ∙ 4 = 10 5 ∙ 4 = 1 2

a 6 = - 4 ∙ - 1 + 18 ∙ 1 2 6 ∙ 5 = - - 4 + 9 6 ∙ 5 = - 5 6 ∙ 5 = - 1 6

a 7 = - 4 ∙ - 1 + 22 ∙ 1 2 7 ∙ 6 = - - 4 + 11 7 ∙ 6 = - 7 7 ∙ 6 = - 1 6

Feshow então! Os 8 primeiros termos não nulos serão:

a 0 = 1 a 1 = 1 a 2 = - 1 a 3 = - 1 a 4 = 1 2 a 5 = 1 2 a 6 = - 1 6 a 7 = - 1 6  

Resposta

Passo 1 prova que x 0 = 0 é um ponto ordinário e os sete primeiros termos não nulos são:

a 0 = 1 a 1 = 1 a 2 = - 1 a 3 = - 1 a 4 = 1 2 a 5 = 1 2 a 6 = - 1 6 a 7 = - 1 6  

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