Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Supondo que y 0 = y ' 0 = 1 , calcule os quatro primeiros termos da solução na origem da equação:

e x y ' ' + x y = 0

Passo 1

A equação é equivalente à equação:

y ' ' + x e - x y = 0

Sabendo que dada uma EDO do tipo:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = G ( x )

Os pontos ordinários são os pontos nos quais as funções Q ( x ) P ( x ) e R ( x ) P ( x ) são analíticas. Da equação acima, temos que a função x e - x é analítica em volta do ponto x = 0 . Então, afirmamos que x = 0 é um ponto ordinário da equação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Verificado que x 0 é um ponto ordinário, temos que a solução em série da equação ao redor desse ponto é:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Para encontrar a relação de recorrência, precisamos também calcular tanto a primeira quanto a segunda derivada:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 2

Vale lembrar, nesse caso, que:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Temos, então:

x e - x = x ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n n !

x e - x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n + 1 n !

Substituindo as expressões acima na EDO fornecida no enunciado e reajustando os termos, temos:

∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 2 =   - ( ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n + 1 n !   ∑ n = 0 ∞ a n x n )

Para chegar a uma única série, vamos trabalhar sobre essas séries realizando as seguintes medidas:

  1. Colocar as séries sobre a mesma potência x n .
  2. Colocá-las começando do mesmo ponto!

Passo 3

Vamos, agora, colocá-las sob a mesma potência!

Para a expressão do y ' ' , iremos substituir n   p o r   n + 2 , obtendo:

∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 2 =   ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n

Já para a expressão do x e - x é substituído n   p o r   n - 1 . Obtemos:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x n + 1 n ! = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x n n - 1 !

Assim, chegamos a seguinte expressão:

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n = - [ ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x n n - 1 !   ∑ n = 0 ∞ a n x n ]  

Passo 4

Antes de colocar as séries começando do mesmo ponto, vamos analisar os termos constantes (com n = 0 ) em y ' ' e o em - x e - x y :

2 a 2 =   - 0   a 0

Como a segunda expressão não tem um termo constante, obtem-se que a 2 = 0 .

Analisado os termos constantes, o próximo passo será alterar as séries para começar em um mesmo ponto:

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n = 2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ a n + 2 n + 2 n + 1 x n

∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n x n

Substituindo na equação encontrada, tem-se:

∑ n = 1 ∞ a n + 2 n + 2 n + 1 x n =   - {   [ ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x n n - 1 ! ]   [ a 0 + ∑ n = 0 ∞ a n x n ] }

∑ n = 1 ∞ a n + 2 n + 2 n + 1 x n =   - [ ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x n n - 1 ! a 0 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x n n - 1 ! a n x n ]

∑ n = 1 ∞ a n + 2 n + 2 n + 1 x n =   - [ ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x n n - 1 ! a 0 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n - 1 ! a n x 2 n ]

Com todas as séries começando sob o mesmo ponto, parte-se para a análise de todas as séries:

  1. Dos termos de x de primeira ordem ( x 1 ):
  2. Para o termo à esquerda do sinal de igual, temos que ter n = 1 . Para o primeiro termo à direita do sinal, o mesmo valor de n, enquanto, para o segundo termo, não há possibilidades de ter x 1 . Assim, temos:

    6 a 2 =   - a 0

    a 2 =   - 1 6

  3. Dos termos de x de segunda ordem ( x 2 ):
  4. Das séries da esquerda para a direita serão necessários os valores de n = 2 , n = 2 e n = 1 , respectivamente. Logo:

    12 a 4 =   - [ 1 a 1 + - 1 a 0 ]

    12 a 4 =   - [ 1 + - 1 ]

    a 4 = 0

  5. Dos termos de x de terceira ordem ( x 3 ):

De forma análoga ao raciocínio desenvolvido anteriormente, temos:

20 a 5 =   - 1 1 2 a 0 + - 1 a 1 + a 2 =   1 2

Logo, a 5 =   1 40

Resposta

a 0 = 1 ,   a 1 = 1 ,   a 3 =   - 1 6 ,   a 5 =   1 40

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