A expansão em série de potências em torno do 0 da solução de:

y ' ' - x y = 0 ,   x ∈ R ,

com as condições iniciais y 0 = 1 e y ' 0 = 1 , é:

y x = a 0 + a 1 x + a 3 x 3 + a 4 x 4 + …

Determine a 0 ,   a 1 ,   a 3 e a 4 .

Passo 1

Faaaala galerinha, tudo tranquilo?

Nessa questão temos a EDO:

y ' ' - x y = 0 ,   x ∈ R ,

Com y 0 = 1 e y ' 0 = 1 .

E, precisamos resolvê-la utilizando o método das séries. Assim, após determinarmos a série que é solução da EDO, podemos abrir os seus primeiros termos para determinar os coeficientes a , b , c e d . Tranquilo?!

Vamo dar uma resumida no passo a passo que vamos fazer pra resolver a EDO usando o método das séries:

1 ) Supomos que a solução da EDO é uma série de potências centralizada em 0 , dada por:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

2 )   Após derivarmos y , substituímos na EDO

3 ) Juntamos os somatórios

4 )   Colocamos a potência de x em evidência

5 )   Encontramos a relação de recorrência

6 ) Generalizamos para qualquer a n

7 )   Calculamos os coeficientes pedidos

Perfeito! Agora que revisamos, vamos lá olhar com calma cada uma dessas etapas.

Passo 2

Bom, primeiramente devemos supor que:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

é solução da EDO.

Assim, iremos derivar y para substituir lá na EDO.

y ' x = ∑ n = 1 ∞ a n ⋅ n x n - 1

(obs: quando derivamos a expressão, o termo a 0 , que era apenas uma constante, foi zerado).

Para substituir na EDO, precisamos derivar mais uma vez. Assim:

y ' ' x =   ∑ n = 2 ∞ a n ⋅ n n - 1 x n - 2

Perfeito! (Dá uma olhadinha no índice do somatório mais uma vez 😊).

Assim, vamos substituir na EDO:

y ' ' - x y = 0

∑ n = 2 ∞ a n ⋅ n n - 1 x n - 2 - x ⋅ ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Colocando o x para dentro do somatório:

∑ n = 2 ∞ a n ⋅ n n - 1 x n - 2 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 0

Muito bom!

Passo 3

A próxima etapa é juntarmos os somatórios. Para isso, precisamos que os expoentes de x estejam conversando sabe?

Temos um n - 2 e um n + 1 . Para fazer o primeiro termo se igualar ao segundo, podemos trocar:

n → n + 3

Assim:

∑ n + 3 = 2 ∞ a n + 3 ⋅ ( n + 3 ) n + 3 - 1 x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 0

∑ n = - 1 ∞ a n + 3 ⋅ ( n + 3 ) n + 2 x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 0

Precisamos fazer os somatórios começarem do mesmo subíndice. Assim, abrindo:

∑ n = - 1 ∞ a n + 3 ⋅ ( n + 3 ) n + 2 x n + 1

Temos:

a - 1 + 3 ⋅ - 1 + 3 - 1 + 2 ⋅ x - 1 + 1 + ∑ n = 0 ∞ a n + 3 ⋅ ( n + 3 ) n + 2 x n + 1

= 2 a 2 + ∑ n = 0 ∞ a n + 3 ⋅ ( n + 3 ) n + 2 x n + 1

Substituindo de volta na EDO:

2 a 2 + ∑ n = 0 ∞ a n + 3 ⋅ ( n + 3 ) n + 2 x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 0

A próxima etapa é colocar x n + 1 em evidência, assim temos:

2 a 2 + ∑ n = 0 ∞ a n + 3 ⋅ n + 3 n + 2 - a n ⋅ x n + 1 = 0

Como o resultado da EDO independe de x , os termos dentro do somatório devem ser nulos.

Além disso, para que o lado esquerdo realmente seja igual a zero, 2 a 2 = 0 . Ou seja:

a 2 = 0 a n + 3 ⋅ n + 3 n + 2 - a n = 0

Perfeito! Com isso encontramos a nossa relação de recorrência!

Passo 4

Agora vamos analisar a relação de recorrência buscando conseguir generalizar o a n .

Temos:

a n + 3 ⋅ n + 3 n + 2 - a n = 0

Logo:

a n + 3   = a n n + 3 n + 2

Muito bom gente!

O nosso problema também nos deu alguns dados iniciais:

y 0 = 1

Mas,

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Fazendo x = 0 , temos:

a 0 = 1

Também foi falado que:

y ' 1 = 1

Mas, vimos no passo 2 , que:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ a n ⋅ n x n - 1

Substituindo x = 1 , temos:

a 1 = 1

Portanto, sobre os nossos coeficientes temos:

a 0 = 1 a 1 = 1 a 2 = 0 a n + 3   = a n n + 3 n + 2

Pra finalizar a questão falta apenas encontrarmos a 3   e a 4 . Então:

a 3 = a 0 + 3

⇒ a 0 + 3 = a 0 0 + 3 0 + 2

Logo:

a 3 = 1 6

Vamos agora pro cálculo de a 4 :

a 4 = a 1 + 3

⇒ a 1 + 3 = a 1 1 + 3 1 + 2

= 1 4 3

= 1 12

Portanto a 4 = 1 / 12 .

Ou seja, no final encontramos o que o enunciado pediu:

a 0 = 1 a 1 = 1 a 3 = 1 / 6 a 4   = 1 / 12

É isso gente! Espero que vocês tenham entendido direitinho.

Obrigado pela atenção 😊

Resposta

a 0 = 1 a 1 = 1 a 3 = 1 / 6 a 4   = 1 / 12

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