Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Séries de Potências

Considere a equação diferencial

1 + x 2 y ' ' + x y ' - 4 y = 0

Cuja solução buscaremos na forma de séries de potências:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

(a) Determine uma relação de recorrência entre os coeficientes.

(b) Determine y ( x ) sabendo que   y 0 = 1 e y ' 0 = 0 .

(c) Determine a solução geral da equação.

Passo 1

(a)

Bom, buscaremos soluções na forma de séries de potências:

Ela é dessa forma

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Vamos agora achar as derivadas dessa função para podermos jogar na EDO

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2

Lembrando que temos que andar com o índice nas derivadas

Então, reescreveremos a EDO de forma à achar uma relação de recorrência dos a n .

1 + x 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 - 4 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro, vamos jogar aqueles valores de x dentro dos somatórios:

1 + x 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 - ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n

x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = ∑ n = 1 ∞ n a n x n

- 4 ∑ n = 0 ∞ a n x n = ∑ n = 0 ∞ - 4 a n x n

A nossa EDO vai ficar:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n + ∑ n = 1 ∞ n a n x n + ∑ n = 0 ∞ - 4 a n x n = 0

Passo 3

Agora, queremos escrever o x com a mesma potência em todos os somatórios.

Assim, no primeiro somatório vamos fazer m = n - 2 , porque assim vamos passar a ter x m no somatório. É bom ficarmos ligados n = m + 2

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 = ∑ m = 0 ∞ m + 2 m + 2 - 1 a m + 2 x m

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 = ∑ m = 0 ∞ m + 2 m + 1 a m + 2 x m

Nos outros, vamos fazer m = n , porque queremos manter x n mesmo. Assim vamos ter

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n = ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m

∑ n = 1 ∞ n a n x n = ∑ m = 1 ∞ m a m x m

∑ n = 0 ∞ - 4 a n x n = ∑ m = 0 ∞ - 4 a m x m

A nossa EDO vai ficar então

∑ m = 0 ∞ m + 2 m + 1 a m + 2 x m + ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m + ∑ m = 1 ∞ m a m x m + ∑ m = 0 ∞ - 4 a m x m = 0

Passo 4

Precisamos agora, deixar todas as séries começando em m = 2 , porque depois disso vamos conseguir juntar tudo em um somatório só.

Para fazer isso, precisamos abrir essas séries.

A primeira vai ficar

∑ m = 0 ∞ m + 2 m + 1 a m + 2 x m = 2.1 . a 2 + 3.2 . a 3 x 1 + ∑ m = 2 ∞ m + 2 m + 1 a m + 2 x m

∑ m = 0 ∞ m + 2 m + 1 a m + 2 x m = 2 a 2 + 6 a 3 x + ∑ m = 2 ∞ m + 2 m + 1 a m + 2 x m

A segunda série já começa em m = 2 , então não vamos mexer nela

∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m

Vamos agora ver a terceira

∑ m = 1 ∞ m a m x m = 1 . a 1 x 1 + ∑ m = 2 ∞ m a m x m

∑ m = 1 ∞ m a m x m = a 1 x + ∑ m = 2 ∞ m a m x m

A última vai ficar

∑ m = 0 ∞ - 4 a m x m = - 4 a 0 x 0 + - 4 a 1 x 1 + ∑ m = 0 ∞ - 4 a m x m

∑ m = 0 ∞ - 4 a m x m = - 4 a 0 - 4 a 1 x + ∑ m = 0 ∞ - 4 a m x m

Assim, essa bagunça vai ficar

2 a 2 + 6 a 3 x + ∑ m = 2 ∞ m + 2 m + 1 a m + 2 x m + ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m + a 1 x + ∑ m = 2 ∞ m a m x m - 4 a 0 - 4 a 1 x + ∑ m = 2 ∞ - 4 a m x m = 0

Vamos juntar os somatórios

2 a 2 - 4 a 0 + 6 a 3 - 3 a 1 x + ∑ m = 2 ∞ m + 2 m + 1 a m + 2 + m m - 1 a m + m a m + - 4 a m x m = 0

Ufa, juntamos tudo 😊

Passo 5

Agora, como o lado direito é igual a 0 , devemos ter todos os coeficientes sendo 0 . Ou seja

2 a 2 - 4 a 0 = 0

6 a 3 - 3 a 1 = 0

E

m + 2 m + 1 a m + 2 + m m - 1 a m + m a m + - 4 a m = 0

Então, ficamos com

a 2 = 2 a 0

e

a 3 = 1 2 a 1

A terceira equação vai nos dar a relação de recorrência dos a m ,

m + 2 m + 1 a m + 2 + m m - 1 a m + m a m + - 4 a m = 0

m + 2 m + 1 a m + 2 + m 2 a m - m a m + m a m - 4 a m = 0

m + 2 m + 1 a m + 2 + m 2 - 4 a m = 0

mas lembrando que como o somatório começa em m = 2 , vamos ter a nossa recorrência

m + 2 m + 1 a m + 2 + m m - 1 a m + m a m - 4 a m = 0

m + 2 m + 1 a m + 2 + m 2 - 4 a m = 0

m + 2 m + 1 a m + 2 + m + 2 m - 2 a m = 0

Isolando a m + 2 , vamos ter

m + 2 m + 1 a m + 2 = - m + 2 m - 2 a m

a m + 2 = - m + 2 m - 2 m + 2 m + 1 a m

Simplificando aquele m + 2 , vamos ter

a m + 2 = - m - 2 m + 1 a m

Que é a relação de recorrência entre os coeficientes.

Passo 6

(b) Usando as condições iniciais y 0 = 1 e y ' 0 = 0 , achamos que

1 = y 0 = a 0

0 = y ' 0 = a 1

Dai tiramos, pela relação de recorrência que

a 2 = 2 a 0 = 2

a 3 = 1 2 a 1 ⇒ a 3 = 0

Agora por recorrência temos que

a 4 = - 4 - 2 2 + 1 a 2 = - 0 . a 2 = 0

Opa, mas cada termo vai depender

a 5 = 0

a 6 = 0

Então temos que os pares a partir de n = 2 são iguais a zero.

Aqui a nossa solução y x vai ser

y x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + …

Como a partir do a 4 , os coeficientes vão ser negativos, vamos ter

y x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2

Trocando os valores dos coeficientes que temos, vamos achar

y x = 1 + 2 x 2

Passo 7

c)

Vamos agora achar a solução geral dessa EDO

Temos aquelas 3 equações

a 2 = 2 a 0

a 3 = 1 2 a 1

a m + 2 = - m - 2 m + 1 a m ,     m ≥ 2

Vamos substituir alguns valores de m , e tentar escrever todos esses coeficientes em função de a 1 ou a 0

m = 2 → a 4 = - 2 - 2 2 + 1 a 2 = 0 a 2 = 0

Como a 4 = 0 , então todos os coeficientes pares depois dele serão nulos também. Só pra ter uma ideia, olha como ficaria o a 6

a 6 = … … a 4 = 0

Passo 8

Agora vamos dar uma olhada para os coeficientes impares

m = 3 → a 5 = - 3 - 2 3 + 1 a 3 = - 1 2 3 - 2 3 + 1 a 1

Não vou simplificar essa expressão pra vê se a gente enxerga um padrão nessa bagunça!

m = 5 → a 7 = - 5 - 2 5 + 1 a 5 = - 5 - 2 5 + 1 - 1 2 3 - 2 3 + 1 a 1 = 1 2 5 - 2 3 - 2 5 + 1 3 + 1 a 1

m = 7 → a 9 = - 7 - 2 7 + 1 a 7 = - 1 2 ( 7 - 2 ) 5 - 2 3 - 2 ( 7 + 1 ) 5 + 1 3 + 1 a 1

m = 9 → a 11 = - 9 - 2 9 + 1 a 9 = 1 2 ( 9 - 2 ) ( 7 - 2 ) 5 - 2 3 - 2 ( 9 + 1 ) ( 7 + 1 ) 5 + 1 3 + 1 a 1

No numerador e no denominador parece que a gente tem dois produtórios. No numerador a gente tem pra um m genérico ímpar

m - 2 m - 2 - 2 … ( 7 - 2 ) 5 - 2 3 - 2

Para escrever de uma forma mais bonitinha, podemos escrever m como um número ímpar genérico

m = 2 k + 1 → k = m - 1 2

Com k ≥ 1 , já que o nosso menor m é 3 . Assim no numerador a gente vai ter

2 k + 1 - 2 2 k + 1 - 2 - 2 … 7 - 2 5 - 2 3 - 2 = 2 k - 1 2 k - 1 - 3 … 2 ⋅ 3 - 1 2 ⋅ 2 - 1 2 ⋅ 1 - 1

E isso tudo é o seguinte produtório

∏ q = 1 k 2 q - 1

Agora no denominador, a gente tem uma coisa parecida

m + 1 m - 2 + 1 … ( 7 + 1 ) 5 + 1 3 + 1

Rescrevendo m como um número ímpar de novo

2 k + 1 + 1 2 k + 1 - 2 + 1 … 7 + 1 5 + 1 3 + 1 = 2 k + 2 2 k … 2 ⋅ 4 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2

Como 2 é um fator comum a todo mundo d�� pra gente juntar um montão. De 2 ⋅ 2 até 2 k + 2 têm k fatores, cada um com um 2 multiplicando, assim esse negócião fica

2 k k + 1 k … 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 2 k k + 1 k … 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

Reconhece esse ser aí depois de 2 k ? É isso mesmo, o nosso velho e bom amigo fatorial!

2 k k + 1 !

Bem mais simpático agora 😉

Beleza! Agora tá quase pronto! Mas lembra lá em cima que uns deles eram positivos e outros eram negativos? Pois é, a gente tem que incluir isso também. Mas isso é bem tranquilo, saca só:

Vamos supor que a 1 é positivo para facilitar a vida.

Os termos que eram proporcionais a a 1 eram

a 7 = … … a 1

a 11 = … … a 1

Esses caras correspondem à m = 5 ,   9 ,   … que correspondem a k = 2 ,   4 , … , ou seja, a k par.

Os termos que eram proporcionais a - a 1 eram

a 5 = - … … a 1

a 9 = - … … a 1

Esses caras correspondem à m = 3 ,   7 ,   … que correspondem a k = 1 ,   3 , … , ou seja, a k ímpar.

Para termos um número negativo quando k é ímpar e um número positivo quando k é par basta multiplicar por - 1 k .

Assim, os termos com m ímpar podem ser escritos como

a m + 2 = - 1 k ∏ q = 1 k 2 q - 1 2 k k + 1 ! a 1 2  

Lembrando que m = 2 k + 1 e que k ≥ 1

a 2 k + 3 = - 1 k ∏ q = 1 k 2 q - 1 2 k k + 1 ! a 1 2

Assim a nossa solução fica

y x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 + a 6 x 6 + a 7 x 7 + a 8 x 8 + a 9 x 9 + …

y x = a 0 + a 1 x + 2 a 0 x 2 + 1 2 a 1 x 3 + 0 x 4 + 0 x 6 + … + ∑ k = 1 ∞ a 2 k + 3 x 2 k + 3

Arrumando tudo

y x = a 0 1 + 2 x 2 + a 1 x + x 3 2 + 1 2 ∑ k = 1 ∞ - 1 k ∏ q = 1 k 2 q - 1 2 k k + 1 ! x 2 k + 3

Resposta

A)

a m + 2 = - m - 2 m + 1 a m

B)

y x = 1 + 2 x 2

C) y x = a 0 1 + 2 x 2 + a 1 x + x 3 2 + 1 2 ∑ k = 1 ∞ - 1 k ∏ q = 1 k 2 q - 1 2 k k + 1 ! x 2 k + 3

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