Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Questão 3:

Considere resolver o seguinte problema de valor inicial:

x 2 - 4 y ' ' + 3 x y ' + y = 0 ,         y 0 = 4 ,           y ' 0 = 1

  1. Justifique o uso de série de potências em torno de x = 0 .
  2. Mostre qual é o raio de convergência das séries.
  3. Encontre relação de recorrência entre os coeficientes das séries.

Passo 1

Letra A

Então, a série de potências em torno de 0 é essas daqui:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Onde a n pode ser obtido por:

a n = y n 0 n !

Logo, quem é o a 0 nessas condições?

a 0 = y 0 0 ! =

Como 0 ! = 1 ...

a 0 = y 0 = 4

E quem é o a 1 ?

a 1 = y ' 0 1 ! = y ' 0 = 1

Logo, a é interessante utilizar a série de potências em torno de 0 pois assim conhecemos os dois primeiros termos sem muito esforço mental e computacional. Se fosse entorno de qualquer outro número, para conhecer a 0 e a 1 daria certo trabalho, pois no final deveríamos calcular até mesmo a derivada e aplicar o x = 0 , já que y ' 0 = 1 . Saca?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra B

Bem, o raio de convergência de qualquer série pode ser encontrado utilizando o limite:

lim m → ∞ ⁡ a m + 1 a m

Mas para isso, precisaremos de alguma relação que associe a m + 1 com a m . Para encontrar tal relação, o que vamos fazer é começar a resolver o a EDO por séries de potências! Vamos nessa?

Passo 3

A solução de uma EDO por séries de potencias de acordo com a nossa teoria é dado por:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n       →

Como essa solução tem que satisfazer a EDO:

x 2 - 4 y ' ' + 3 x y ' + y = 0

Devemos calcular a primeira derivada dela:

y ' = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

E também a segunda:

y ' ' = ∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 2

Substituindo agora esses dois caras na EDO:

x 2 - 4 y ' ' + 3 x y ' + y = 0     →

x 2 - 4 ∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 2 + 3 x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0     →

x 2 ∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 2 - 4 ∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 2 + 3 x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0     →

Esses termos do lado de fora do somatório, pode ser posto para dentro:

∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x 2 x n - 2 - ∑ n = 2 ∞ 4 n - 1 n a n x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ 3 n a n x ⋅ x n - 1 + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0     →

E lembre-se: x 2 x n - 2 = x n por propriedade de potências, logo...

∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - ∑ n = 2 ∞ 4 n - 1 n a n x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ 3 n a n x n + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0     →

O que vamos fazer nos próximos passos é tentar chegar a um único somatório. Mas para isso precisamos que:

  • Tenhamos o mesmo x n em todas elas!
  • Elas estejam começando do mesmo ponto n .

Passo 4

Vamos resolver aqui então o primeiro ponto dali de cima:

Tenhamos o mesmo x n em todas elas!

Para isso, a única série que precisamos mexer é naquela segunda:

∑ n = 2 ∞ 4 n - 1 n a n x n - 2 =

Colocando + 2 na frente de todo e qualquer n nessa série:

∑ n + 2 = 2 ∞ 4 n + 2 - 1 n + 2 a n + 2 x n - 2 + 2 =

∑ n = 2 - 2 ∞ 4 n + 1 n + 2 a n + 2 x n =

∑ n = 0 ∞ 4 n + 1 n + 2 a n + 2 x n  

Prontinho! Ganhamos o mesmo x n e ficamos assim agora:

∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - ∑ n = 2 ∞ 4 n - 1 n a n x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ 3 n a n x n + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0     →

∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - ∑ n = 0 ∞ 4 n + 1 n + 2 a n + 2 x n + ∑ n = 1 ∞ 3 n a n x n + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0  

Passo 5

Vamos resolver aqui então o segundo agora:

Elas estejam começando do mesmo ponto n

Para isso, demos colocar as três últimas séries dali de cima começando de n = 2 . Para isso, basta desmembrar a série:

∑ n = 0 ∞ 4 n + 1 n + 2 a n + 2 x n = 4 1 2 a 2 x 0 + 4 2 3 a 3 x 1 + ∑ n = 2 ∞ 4 n + 1 n + 2 a n + 2 x n

Fazendo o mesmo com a terceira:

∑ n = 1 ∞ 3 n a n x n = 3 ⋅ 1 ⋅ a 1 x 1 + ∑ n = 2 ∞ 3 n a n x n

E com a última:

∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 x 0 + a 1 x 1 + ∑ n = 2 ∞ a n x n

Agora substituindo na igualdade que queremos simplificar:

∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 8 a 2 + 24 a 3 x + ∑ n = 2 ∞ 4 n + 1 n + 2 a n + 2 x n + 3 a 1 x 1 + ∑ n = 2 ∞ 3 n a n x n + a 0 + a 1 x + ∑ n = 2 ∞ a n x n = 0     →

Juntando então os termos que estão do lado de fora dos somatórios:

- 8 a 2 + 24 a 3 x + 3 a 1 x + a 0 + a 1 x + ∑ n = 2 ∞ 4 n + 1 n + 2 a n + 2 x n + ∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n + ∑ n = 2 ∞ 3 n a n x n + ∑ n = 2 ∞ a n x n = 0     →

Perceba que finalmente podemos fazer o que queríamos lá no passo 3: juntar as séries dentro de um único somatório:

- 8 a 2 + a 0 + 24 a 3 + 4 a 1 x + ∑ n = 2 ∞ 4 n + 1 n + 2 a n + 2 + n - 1 n a n + 3 n a n + a n x n = 0     →

Para essa igualdade a 0 ser verdade, como x n estamos assumindo que ele seja diferente de 0 , então todos os termos dos coeficientes devem ser iguais a 0 :

- 8 a 2 + a 0 = 0 24 a 3 + 4 a 1 = 0 4 n + 1 n + 2 a n + 2 + n - 1 n a n + 3 n a n + a n = 0

Das duas primeiras equações, como conhecemos a 0 e a 1 :

- 8 a 2 + 4 = 0     →         a 2 = 1 2

24 a 3 + 4 = 0     →       a 3 = - 4 24 = - 1 6

Da última equação:

4 n + 1 n + 2 a n + 2 + n - 1 n a n + 3 n a n + a n = 0   →

Isolando o a n + 2 ...

4 n + 1 n + 2 a n + 2 + n - 1 n + 3 n + 1 a n = 0

4 n + 1 n + 2 a n + 2 = - n - 1 n + 3 n + 1 a n   →

a n + 2 = - n - 1 n + 3 n + 1 a n 4 n + 1 n + 2  

Passo 6

Essa última equação aí vai responder o item c do nosso problema, pois ela é justamente a relação de recorrência da nossa EDO! Pois bem, mas o que queremos aqui ainda é determinar qual é o raio de convergência das nossas séries e sabemos pela teoria que o raio de convergência é dado por:

R = 1 lim m → ∞ ⁡ a m + 1 a m

Agora quem que é o a m + 1 ? E o a m ?

Ora, o a m + 1 é o próximo termo da série de potências! Eu não sei se você concorda comigo, mas quando resolvermos a relação de recorrência:

a n + 2 = - n - 1 n + 3 n + 1 a n 4 n + 1 n + 2

Vamos obter dois a m ’s (um para série que vai depender do a 0 = 4 e outra que vai depender do a 1 = 1 ). Para verificar isso, basta observar que para determinar o a 2 usamos o a 0 :

- 8 a 2 + a 0 = 0

E o a 3 usamos o a 1 :

24 a 3 + 4 a 1 = 0

Isso significa que todos os pares vão depender do a 0 e todos os ímpares do a 1 . Ou seja, vamos encontrar um a m para o lado par e outra para o lado ímpar. Mas ambos são tirados dessa expressão aqui:

a n + 2 = - n - 1 n + 3 n + 1 a n 4 n + 1 n + 2

Onde a n é o termo a m e a n + 2 é o próximo termo a m + 1 , que dependendo pode ser p a r ou i m p a r , saca? Então:

lim m → ∞ ⁡ a m + 1 a m = lim n → ∞ ⁡ a n + 2 a n =

Só que:

a n + 2 = - n - 1 n + 3 n + 1 a n 4 n + 1 n + 2     →

a n + 2 a n = - n - 1 n + 3 n + 1 4 n + 1 n + 2  

Logo:

lim m → ∞ ⁡ a m + 1 a m = lim n → ∞ ⁡ - n - 1 n + 3 n + 1 4 n + 1 n + 2 =

lim n → ∞ ⁡ - n - 1 + 3 n + 1 4 n + 1 n + 2 = lim n → ∞ ⁡ n + 2 n + 1 4 n + 1 n + 2 =

Separando em duas frações...

lim n → ∞ ⁡ n + 2 n 4 n + 1 n + 2 + 1 4 n + 1 n + 2 =

lim n → ∞ ⁡ n 4 n + 4 + lim n → ∞ ⁡ 1 4 n + 1 n + 2

O segundo limite é 0 , pois n vai ao infinito, quanto ao primeiro limite...

lim n → ∞ ⁡ a m + 1 a m = lim n → ∞ ⁡ n 4 n + 4 =

lim n → ∞ ⁡ n / n 4 n n + 4 n = lim n → ∞ ⁡ 1 4 + 4 n = 1 4

Logo, o raio é dado por:

R = 1 1 4 = 4

Passo 7

Letra C

a n + 2 = - n - 1 n + 3 n + 1 a n 4 n + 1 n + 2  

Resposta

  1. Devido aos valores iniciais estarem sendo calculado em x = 0 .
  2. R = 4

a n + 2 = - n - 1 n + 3 n + 1 a n 4 n + 1 n + 2

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