Encontre a relação de recorrência dos coeficientes de uma solução em série de potências em torno de x = 1 da equação diferencial y ' ' - x y ' - y = 0 .

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

Nessa questão, temos uma equação diferencial, dada por

y ' ' - x y ' - y = 0           ( 1 )

Daí imagina que temos uma solução em série de potências em torno de x = 1

O que queremos é achar a relação de recorrência dos coeficientes dessa solução.

Mas como fazemos isso?e queremos achar a relação de recorrência dos coeficientes de uma solução em série de potências em torno de x = 1 . Mas como fazemos isso?

Se temos uma equação diferencial da seguinte forma

y ' ' + p ( x ) y ' + q ( x ) y = 0

em que p ( x ) e q ( x ) não são necessariamente constantes, temos que uma solução para a equação diferencial, pode ser proposta no formato de uma série de potências

y 1 ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( x - x 0 ) n

Aqui, quando o enunciado diz que queremos a série em torno de x = 1 , isso significa que o x 0 que aparece ali dentro do parênteses vai ser igual a 1.

Se aplicarmos este formato dentro de nossa equação diferencial, poderemos encontrar a nossa relação de recorrência! Mas repara na nossa equação diferencial que temos as derivadas primeira e segunda de y . Então antes de substituir na equação, vamos derivar essa solução 2 vezes.

Então essa é nossa estratégia de solução: vamos derivar geral 2 vezes e depois substituir na nossa equação diferencial.

Bora lá!

Passo 2

Queremos que a expansão seja feita em torno de x = 1 , portanto, temos que x 0 = 1 e nossa série fica assim

y 1 ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( x - 1 ) n = a 0 + a 1 ( x - 1 ) + a 2 ( x - 1 ) 2 + . . . + a n ( x - 1 ) n           ( 2 )

Se derivarmos esta expressão, note que o termo de n = 0 se anula, pois a 0 = c o n s t a n t e , desta forma, podemos escrever

y ' ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n n ( x - 1 ) n - 1 = a 1 + 2 a 2 ( x - 1 ) + 3 a 3 ( x - 1 ) 2 + . . . + n a n ( x - 1 ) n - 1         ( 3 )  

Da mesma forma que anteriormente, temos que ao derivar esta expressão, o termo relativo a n = 1 se anula, e nós temos que a derivada toma a seguinte forma

y ' ' ( x ) = ∑ n = 2 ∞ a n n ( n - 1 ) ( x - 1 ) n - 2           ( 4 )

Nós precisamos substituir as expressões (2), (3) e (4) dentro da equação (1) de forma a encontrar a relação para a n . No entanto, é conveniente fazermos algumas mudanças de variável primeiro! Saca só!

Passo 3

Se fizermos na equação ( 4 ) que k = n - 2 , podemos reescrever a soma da seguinte maneira

y ' ' ( x ) = ∑ k = 0 ∞ a k + 2 ( k + 2 ) ( k + 1 ) ( x - 1 ) k

Mas note que k é um índice qualquer, e podemos dar qualquer nome para ele, portanto, a expressão que obtemos acima resulta no mesmo que a seguinte expressão

y ' ' ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n + 2 ( n + 2 ) ( n + 1 ) ( x - 1 ) n           ( 5 )

Vamos guardar este resultado por agora! E trabalhar um pouco com a equação (3). Vem comigo!

Passo 4

Temos a seguinte relação

y ' ( x ) = ∑ n = 1 ∞ n a n ( x - 1 ) n - 1

Mas nós queremos na verdade x y ' ( x ) , mas para que consigamos trabalhar esta relação com maior facilidade vamos somar 1 e tirar 1 desta expressão, da seguinte forma

x y ' ( x ) = ( x - 1 + 1 ) y ' ( x ) = ( x - 1 ) y ' ( x ) + y ' ( x )

Se utilizarmos o resultado que obtivemos acima, temos que

x y ' ( x ) = ( x - 1 ) ∑ n = 1 ∞ n a n ( x - 1 ) n - 1 + ∑ n = 1 ∞ n a n ( x - 1 ) n - 1

Se entrarmos com ( x - 1 ) no somatório, temos que

x y ' ( x ) = ∑ n = 1 ∞ n a n ( x - 1 ) n + ∑ n = 1 ∞ n a n ( x - 1 ) n - 1

Por conveniência podemos fazer a mudança de variáveis k = n - 1 , e reescrever o segundo somatório como

∑ k = 0 ∞ ( k + 1 ) a k + 1 ( x - 1 ) k

Novamente, como k é apenas o nome do índice, podemos mudar isso a vontade, e podemos escrever que

∑ k = 0 ∞ ( k + 1 ) a k + 1 ( x - 1 ) k = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) a n + 1 ( x - 1 ) n

De forma que temos finalmente

x y ' ( x ) = ∑ n = 1 ∞ n a n ( x - 1 ) n + ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) a n + 1 ( x - 1 ) n           ( 6 )

Agora que as equações (6), (5) e (2) estão sendo somadas nos mesmos limites podemos substituí-las dentro da equação (1)! Bora lá!

Passo 5

Substituindo a equação (6), (5) e (2) na equação (1), temos que

∑ n = 0 ∞ a n + 2 ( n + 2 ) ( n + 1 ) ( x - 1 ) n - ∑ n = 1 ∞ n a n ( x - 1 ) n - ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) a n + 1 ( x - 1 ) n     - ∑ n = 0 ∞   a n ( x - 1 ) n = 0

É interessante notar que no seguinte termo

∑ n = 1 ∞ n a n ( x - 1 ) n

podemos começar a soma em n = 0 , pois, para este valor de n , o coeficiente a 0 = 0 , e sendo assim, podemos dizer que

∑ n = 1 ∞ n a n ( x - 1 ) n = ∑ n = 0 ∞ n a n ( x - 1 ) n

Mas porquê eu fiz isso? Note que agora todos os somatórios estão no mesmo intervalo na seguinte expressão

∑ n = 0 ∞ a n + 2 ( n + 2 ) ( n + 1 ) ( x - 1 ) n - ∑ n = 0 ∞ n a n ( x - 1 ) n - ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) a n + 1 ( x - 1 ) n     - ∑ n = 0 ∞   a n ( x - 1 ) n = 0

Esta equação está agora no formato que precisamos para calcular nossa relação de recorrência! Vamos fazer isso!

Passo 6

Colocando as somas em evidência, assim como o termo de ( x - 1 ) n temos que

∑ n = 0 ∞ ( x - 1 ) n [ a n + 2 ( n + 2 ) ( n + 1 ) - n a n - ( n + 1 ) a n + 1     - a n ] = 0

Ou seja, precisamos que

a n + 2 ( n + 2 ) ( n + 1 ) - n a n - ( n + 1 ) a n + 1 - a n = 0

Podemos juntar os termos de a n para obter

a n + 2 ( n + 2 ) ( n + 1 ) - a n ( n + 1 ) - ( n + 1 ) a n + 1 = 0

E se colocarmos ( n + 1 ) em evidência, temos que

( n + 1 ) [ a n + 2 ( n + 2 ) - a n - a n + 1 ] = 0

E finalmente, temos que

a n + 2 ( n + 2 ) - a n - a n + 1 = 0

O que dá a nossa relação de recorrência como

a n + 2 = a n + a n + 1 n + 2

É isto que a questão nos pede! Esta relação de recorrência pode ser utilizada para montarmos um conjunto de soluções linearmente independentes, mas isso ficará para outro exercício! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

a n + 2 = a n + a n + 1 n + 2

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