Questão 5 - Use séries para resolver o PVI abaixo. Descreva os 7 primeiros coeficientes da série e a lei de recorrência que relaciona os coeficientes da série.

y ' ' + x y ' + 2 y = 0 ,     y 0 = 2 , y ' 0 = - 2 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nosso objetivo aqui é usar a solução por séries para obter os 7 primeiros termos do coeficiente e também obter a relação de recorrência.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Na solução por séries, fazemos com que a solução de uma EDO genérica dada por y ' ' + p x y ' + q x y = 0 seja estruturada por

y x = ∑ n = 0 ∞ C n x n

Assim, calculando a primeira e a segunda derivada de y x e substituindo na EDO, podemos fazer algumas relações que vão nos ajudar.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Calculando a primeira derivada de y x , temos, pelo método de derivação polinomial

y ' x = ∑ n = 1 ∞ C n n x n - 1

Já a segunda derivada, pelo mesmo método é igual a

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ C n n n - 1 x n - 2

Substituindo y x , y ' x e y ' ' x na EDO y ' ' + x y ' + 2 y = 0 , temos

∑ n = 2 ∞ C n n n - 1 x n - 2 + x ∑ n = 1 ∞ C n n x n - 1 + 2 ∑ n = 0 ∞ C n x n = 0

Passando x para dentro do somatório, fazemos a soma dos expoentes

∑ n = 2 ∞ C n n n - 1 x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ C n n x n - 1 + 1 + ∑ n = 0 ∞ 2 C n x n = 0

∑ n = 2 ∞ C n n n - 1 x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ C n n x n + ∑ n = 0 ∞ 2 C n x n = 0

No primeiro termo, fazemos uma translação de n para n + 2 .

∑ n = 0 ∞ C n + 2 n + 2 n + 1 x n + ∑ n = 1 ∞ C n n x n + ∑ n = 0 ∞ 2 C n x n = 0

Perceba que o primeiro e o terceiro termo começa em n = 0 , mas o segundo termo começa em n = 1 . Por isso, vamos escrever o primeiro somatório do primeiro e do terceiro termo para deixar todos em n = 1 .

Sacou? Bora lá!

Passo 3

Para o primeiro termo, temos

∑ n = 0 ∞ C n + 2 n + 2 n + 1 x n = C 0 + 2 0 + 2 0 + 1 x 0 + ∑ n = 1 ∞ C n + 2 n + 2 n + 1 x n

∑ n = 0 ∞ C n + 2 n + 2 n + 1 x n = 2 C 2 + ∑ n = 1 ∞ C n + 2 n + 2 n + 1 x n

Para o segundo termo, temos

∑ n = 0 ∞ 2 C n x n = 2 C 0 x 0 + ∑ n = 1 ∞ 2 C n x n

∑ n = 0 ∞ 2 C n x n = 2 C 0 + ∑ n = 1 ∞ 2 C n x n

Substituindo os resultados na equação, vamos obter

∑ n = 0 ∞ C n + 2 n + 2 n + 1 x n + ∑ n = 1 ∞ C n n x n + ∑ n = 0 ∞ 2 C n x n = 0

2 C 2 + ∑ n = 1 ∞ C n + 2 n + 2 n + 1 x n + ∑ n = 1 ∞ C n n x n + 2 C 0 + ∑ n = 1 ∞ 2 C n x n = 0

2 C 2 + 2 C 0 + ∑ n = 1 ∞ C n + 2 n + 2 n + 1 x n + ∑ n = 1 ∞ C n n x n + ∑ n = 1 ∞ 2 C n x n = 0

Com isso, podemos juntar os termos dos somatórios em um único somatório

2 C 2 + 2 C 0 + ∑ n = 1 ∞ C n + 2 n + 2 n + 1 x n + C n n x n + 2 C n x n = 0

2 C 2 + 2 C 0 + ∑ n = 1 ∞ C n + 2 n + 2 n + 1 + C n n + 2 x n = 0

Para a igualdade ser satisfeita, obrigatoriamente temos

2 C 2 + 2 C 0 = 0 C n + 2 n + 2 n + 1 + C n n + 2 = 0

Desse sistema, tiramos que C n + 2 é dado por

C n + 2 = - C n n + 2 n + 2 n + 1

C n + 2 = - C n n + 1

E essa é a nossa relação de recorrência!

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 4

Obtendo os 7 primeiros termos do coeficiente da solução, temos que obter de C 0 até C 7 .

Da primeira equação do sistema, temos

2 C 2 + 2 C 0 = 0 → C 0 = - C 2

Fazendo de n = 1 a n = 5 em C n + 2 = - C n n + 1

Para n = 1 :

C 1 + 2 = - C 1 1 + 1 → C 3 = - C 1 2

Para n = 2 :

C 2 + 2 = - C 2 2 + 1 → C 4 = - C 2 3

Mas se C 2 = - C 0 , então

C 4 = C 0 3

Para n = 3 :

C 3 + 2 = - C 3 3 + 1 → C 5 = - C 3 4

Mas se C 3 = - C 1 2 , então

C 5 = - - C 1 2 4 → C 5 = C 1 8

Para n = 4 :

C 4 + 2 = - C 4 4 + 1 → C 6 = - C 4 5

Porém, C 4 = C 0 3 , então

C 6 = - C 0 3 5 → C 6 = - C 0 15

Agora n = 5 :

C 5 + 2 = - C 5 5 + 1 → C 7 = - C 5 6

Se C 5 = C 1 8 , então

C 7 = - C 1 8 6 → C 7 = - C 1 48

E esses são os 7 primeiros termos da solução! Mas pera aí que ainda podemos melhora-los.

Tranquilo até aqui?

Passo 5

Esse problema é PVI e foi dito que y 0 = 2 e y ' 0 = - 2 e também temos que

y 0 = C 0

y ' 0 = C 1

Ou seja...

C 0 = 2

C 1 = - 2

Logo, aplicando nos coeficientes que encontramos...

C 0 = 2 C 1 = - 2 C 2 = - C 0 C 3 = - C 1 2 C 4 = C 0 3 C 5 = C 1 8 C 6 = - C 0 15 C 7 = - C 1 48 → C 0 = 2 C 1 = - 2 C 2 = - 2 C 3 = - - 2 2 C 4 = 2 3 C 5 = - 2 8 C 6 = - 2 15 C 7 = - - 2 48 → C 0 = 2 C 1 = - 2 C 2 = - 2 C 3 = 1 C 4 = 2 3 C 5 = - 1 4 C 6 = - 2 15 C 7 = 1 24

Agora sim temos os 7 primeiros coeficientes da solução!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

C 0 = 2 C 1 = - 2 C 2 = - 2 C 3 = 1 C 4 = 2 3 C 5 = - 1 4 C 6 = - 2 15 C 7 = 1 24 ,     C n + 2 = - C n n + 1

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