Utilizando o método de séries de potências, resolva a EDO a seguir nas proximidades de x 0 = 0

x 2 y ' '   + ( x 2 - 2 x ) y ' + 2 y = 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de EDO. Dessa vez temos que resolver EDO´S de segunda ordem usando séries de potências. E aí? Lembram como resolvemos esse tipo de problema com esse método?

Vamos fazer uma revisão!!!!

Assumimos que a solução da EDO é da seguinte forma

y ( x ) = ∑ i = 0 ∞ a i x i

Calculamos

y ' ( x )

Que pela linearidade da derivada é:

y ' ( x ) = ∑ i = 0 ∞ i a i x i - 1

E o

y ' ' ( x )

Que pela linearidade da derivada é:

y ' ' ( x ) = ∑ i = 0 ∞ i ( i - 1 ) a i x i - 2

Depois disso substituímos na equação original para podermos encontrar os valores dos coeficientes a i ´s.

Bora Resolver a EDO

Passo 2

Vamos resolver nossa EDO

x 2 y ' '   + ( x 2 - 2 x ) y ' + 2 y = 0

Substituindo na expressão

x 2 ∑ i = 2 ∞ i ( i - 1 ) a i x i - 2 + ( x 2 - 2 x ) ∑ i = 1 ∞ i a i x i - 1 + 2 ∑ i = 0 ∞ a i x i = 0

∑ i = 2 ∞ i ( i - 1 ) a i x i + ∑ i = 1 ∞ i a i x i + 1 - 2 ∑ i = 1 ∞ i a i x i + 2 ∑ i = 0 ∞ a i x i = 0

fazendo uma mudança de índice no segundo somatório.

∑ i = 2 ∞ i ( i - 1 ) a i x i + ∑ i = 2 ∞ ( i - 1 ) a i - 1 x i - 2 ∑ i = 1 ∞ i a i x i + 2 ∑ i = 0 ∞ a i x i = 0

Vamos fazer todos os somatórios começarem do índice 2

∑ i = 2 ∞ i ( i - 1 ) a i x i + ∑ i = 2 ∞ ( i - 1 ) a i - 1 x i - 2 ∑ i = 2 ∞ i a i x i + 2 ∑ i = 2 ∞ a i x i - 2 a 1 x + 2 a 0 + 2 a 1 x = 0

∑ i = 2 ∞ ( i ( i - 1 ) a i + ( i - 1 ) a i - 1 - 2 i a i + 2 a i ) x i - 2 a 1 x + 2 a 0 + 2 a 1 x = 0

Como é uma igualdade de polinômios, temos que:

a 0 = 0 , e a 1 ∈ R . Além disso, temos que:

i ( i - 1 ) a i + ( i - 1 ) a i - 1 - 2 i a i + 2 a i = 0

para todo i ≥ 2 . Isolando a i

( i ( i - 1 ) - 2 i + 2 ) a i + ( i - 1 ) a i - 1 = 0

⇒ a i = - ( i - 1 ) a i - 1 / ( i - 1 ) ( i - 2 )

= - a i - 1 / ( i - 2 )

Passo 3

Prontinho, temos a expressão geral para o termo a i , mas vamos colocar ela em função de a 1 . Fazendo i = 2

a 2 = - a 1

Fazendo i = 3

a 3 = - a 2

= a 1

Fazendo i = 4

a 4 = - a 3 / 2

= - a 1 / 2

Dessa forma, podemos observar que

a n = ( - 1 ) n + 1 a 1 / ( n - 2 ! )

Logo a nossa solução é:

y ( x ) = ∑ i = 0 ∞ a i x i

com

a 0 = 0

a 1 ∈ R

e

a n = ( - 1 ) n + 1 a 1 / ( n - 2 ! )

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de EDO, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

Desenvolvimento acima

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