Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Solução de EDO em série – ponto ordinário

Considere o seguinte problema de valores iniciais:

( I ) y ' ' x - x y ' x = s e n   x y 0 = 1 ,                 y ' 0 = 2

Deseja-se procurar a solução de ( I ) em forma de série de potências centrada na origem x = 0 , isto é, y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n .

  1. Use que o desenvolvimento em série de Taylor da função s e n   x é dado por
  2. ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! x 2 k + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + …

    Para determinar a relação de recorrência entre os coeficientes da série de potências y ( x ) .

  3. Determine os valores de a n com 1 ≤ n ≤ 6 .

Passo 1

Letra a)

Vamos definir:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

s e n x = ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! x 2 k + 1

Fazendo essas substituições na EDO, temos:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! x 2 k + 1

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - ∑ n = 1 ∞ n a n x n = ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! x 2 k + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Precisamos, agora, igualar as potências da esquerda por x n . Temos:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice n (nesse caso, 2 ).

Temos, então:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n - ∑ n = 1 ∞ n a n x n = ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! x 2 k + 1

Passo 3

Agora devemos igualar os índices dos somatórios (da esquerda) pelo maior (nesse caso n = 1 ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n = 2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

Como o somatório deve passar a começar em n = 1 , colocamos para fora os termos correspondentes a n = 0 .

Temos, então:

2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n - ∑ n = 1 ∞ n a n x n = ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! x 2 k + 1

Passo 4

Vamos, então, juntar os somatórios (da esquerda) colocando x n em evidência :

2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 - n a n x n = ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! x 2 k + 1

Passo 5

Como a série em k (no lado direito) só possui termos de índice ímpar, para essa igualdade ser verdaderia, temos que:

2 a 2 = 0         →           a 2 = 0

Agora, para a relação de recorrência nós vamos por partes.

Para n = 2 k

Isso é: para os termos de índice par da série em n . Como já vimos, a série em k só possui termos de índice ímpar, logo, para a igualdade se verificar, os termos de índice par da série da esquerda devem ser zero.

Como x n ≠ 0 , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.

n + 2 n + 1 a n + 2 - n a n = 0

Como n = 2 k :

2 k + 2 2 k + 1 a 2 k + 2 - 2 k a 2 k = 0

a 2 k + 2 = 2 k a 2 k 2 k + 2 2 k + 1

Beleza?

Para n = 2 k + 1

Para os termos ímpares a história já é outra. Como a série da direita possui termos ímpares (apenas), para a igualdade ser verdadeira, precisamos igualar a série da direita com a da esquerda. Isso nos dá que

n + 2 n + 1 a n + 2 - n a n = - 1 k 2 k + 1 !

Lembrando que n = 2 k + 1

2 k + 3 2 k + 2 a 2 k + 3 - ( 2 k + 1 ) a 2 k + 1 = - 1 k 2 k + 1 !

a 2 k + 3 = ( 2 k + 1 ) a 2 k + 1 2 k + 3 2 k + 2 + - 1 k 2 k + 3 !

Show?

Passo 6

Letra b)

Agora vamos calcular os termos que o problema pede:

a 1 , a 2 ,   a 3 ,   a 4 ,   a 5 ,   a 6

As condições iniciais nos dão que

y 0 = a 0 = 1

y ' 0 = a 1 = 2

Como já vimos

a 2 = 0

Certo, agora vamos usar as equações de recorrência que encontramos.

Para os termos de índice par:

a 2 k + 2 = 2 k a 2 k 2 k + 2 2 k + 1

a 4 = 2 a 2 2 + 2 2 + 1 = 0

a 6 = 2 k a 4 4 + 2 4 + 1 = 0

Para os termos de índice ímpar:

a 2 k + 3 = ( 2 k + 1 ) a 2 k + 1 2 k + 3 2 k + 2 + - 1 k 2 k + 3 !

a 3 = ( 1 ) a 1 3 2 + - 1 0 3 ! = 2 6 + 1 6 = 1 2

a 5 = ( 2 + 1 ) a 2 + 1 2 + 3 2 + 2 + - 1 1 2 + 3 ! = 3 a 3 20 - 1 5 ! = 1 15

Resposta

  1. Para n = 2 k ,   a 2 k + 2 = 2 k a 2 k 2 k + 2 2 k + 1 ; para n = 2 k + 1 ,   a 2 k + 3 = ( 2 k + 1 ) a 2 k + 1 2 k + 3 2 k + 2 + - 1 k 2 k + 3 ! . a 2 = 0
  2. a 0 = 1 ,   a 1 = 2 ,   a 2 = 0 ,   a 3 = 1 2 ,   a 4 = 0 ,   a 5 = 1 15 ,   a 6 = 0 .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas