Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Solução de EDO em série – ponto ordinário, Séries de potências

Considere a equação diferencial

1 + x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0

  1. Mostre que o ponto x = 0 é um ponto ordinário da equação diferencial e dê uma cota inferior para o raio de convergência da solução em séries de potências em torno de x = 0 .
  2. Encontre a solução geral da equação diferencial.
  3. Qual é o raio de convergência da solução que satisfaz y 0 = 1 e y ' 0 = 0 ?

Passo 1

Letra a)

precisamos verificar se o ponto x 0 é ordinário. Temos, nesse caso

P x = 1 + x 2

P 0 = 1 ≠ 0

Logo, x 0 = 0 é ordinário.

Para encontrar a cota inferior do raio de convergência, temos que saber as raízes de P ( x ) . Nesse caso, P x = 0 quando x = ± i . A cota inferior é então a menor distância entre as raízes e x 0 , nesse caso, 0 - ( ± i ) = 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

Vamos, então, definir:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Fazendo essas substituições na EDO, temos:

1 + x 2 ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - 4 x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + 6 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 + ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 4 ∑ n = 1 ∞ n a n x n + 6 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passo 3

Precisamos, agora, igualar as potências de x por x n . Temos:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice n (nesse caso, 2 ).

Temos, então:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n + ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 4 ∑ n = 1 ∞ n a n x n + 6 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passo 4

Agora devemos igualar os índices dos somatórios pelo maior (nesse caso n = 2 ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n = 2 a 2 + 6 a 3   x + ∑ n = 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

Como o somatório deve passar a começar em n = 2 , colocamos para fora os termos correspondentes a n = 0 e n = 1 . Vamos fazer o mesmo as outras séries:

∑ n = 1 ∞ n a n x n = a 1 x + ∑ n = 2 ∞ n a n x n

∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + ∑ n = 2 ∞ a n x n

Temos, então:

2 a 2 + 6 a 3   x + ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n + ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 4 a 1 x + ∑ n = 2 ∞ n a n x n + 6 a 0 + a 1 x + ∑ n = 2 ∞ a n x n = 0

Passo 5

Vamos, então, juntar os somatórios colocando x n em evidência e agrupar os termos “soltos”.

2 a 2 + 6 a 3   x + ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n + ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 4 a 1 x - 4 ∑ n = 2 ∞ n a n x n + 6 a 0 + 6 a 1 x + 6 ∑ n = 2 ∞ a n x n = 0

( 2 a 2 + 6 a 0 ) + ( 6 a 3 - 4 a 1 + 6 a 1 ) x + ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n + ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 4 ∑ n = 2 ∞ n a n x n + 6 ∑ n = 2 ∞ a n x n = 0

( 2 a 2 + 6 a 0 ) + ( 6 a 3 + 2 a 1 ) x + ∑ n = 2 ∞ [ n + 2 n + 1 a n + 2 + n n - 1 a n - 4 n a n + 6 a n ] x n = 0

( 2 a 2 + 6 a 0 ) + ( 6 a 3 + 2 a 1 ) x + ∑ n = 2 ∞ [ n + 2 n + 1 a n + 2 + n 2 - n - 4 n + 6 a n ] x n = 0

( 2 a 2 + 6 a 0 ) + ( 6 a 3 + 2 a 1 ) x + ∑ n = 2 ∞ [ n + 2 n + 1 a n + 2 + n 2 - 5 n + 6 a n ] x n = 0

Passo 6

Como x n ≠ 0 , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.

[ n + 2 n + 1 a n + 2 + n 2 - 5 n + 6 a n ] = 0

Os coeficientes de cada termo “solto”, fora do somatório também devem ser zero.

2 a 2 + 6 a 0 = 0       →       a 2 = - 3 a 0

6 a 3 + 2 a 1 = 0       →       a 3 = - a 1 3

Encontramos nossa relação de recorrência.

Passo 7

Vamos agora, calcular alguns a n ’s.

Nós podemos saber que a relação entre os termos é feita de 2 em 2 por que a relação de recorrência associa termos a n a a n + 2 , mas aqui nem precisaremos disso, veja:

para   n = 0       →       0 + 2 0 + 1 a 0 + 2 + 0 2 - 5 ∙ 0 + 6 a 0 = 0       →       a 2 = - 3 a 0

para   n = 1       →       1 + 2 1 + 1 a 1 + 2 + 1 2 - 5 ∙ 1 + 6 a 1       = 0       →       a 3 = - a 1 3

para   n = 2       →       2 + 2 2 + 1 a 2 + 2 + 2 2 - 5 ∙ 2 + 6 a 2 = 0         →       a 4 = 0

para   n = 3       →       3 + 2 3 + 1 a 3 + 2 + 3 2 - 5 ∙ 3 + 6 a 3       = 0       →       a 5 = 0

para   n = 4       →       4 + 2 4 + 1 a 4 + 2 + 4 2 - 5 ∙ 4 + 6 a 4 = 0           →       a 6 = 0

Daí em diante, todos os termos serão iguais a zero, pois a sua expressão depende de outro termo anterior que é zero. Portanto, a série é finita.

Passo 8

Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o a n .

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3

Substituindo as expressões que encontramos para os a n ’s, temos

y x = a 0 + a 1 x - 3 a 0 x 2 - a 1 x 3 3

Passo 9

Letra c)

Queremos agora o raio de convergência para quando y 0 = 1 e y ' 0 = 0 . Esses dados vão nos fornecer o valor de a 0 e a 1 , não é? Podemos substituir esses valores na expressão que encontramos, mas isso não vai fazer diferença nenhuma, você vai ver!

a 0 = 1

a 1 = 0

y x = 1 - 3 x 2

Temos um polinômio, não é? Quando que essa série converge? Digo, quando que essa série possui uma soma? Sempre! Essa já é a soma. O raio de convergência de toda solução polinomial é infinito, ou seja:

R = ∞

Resposta

  1. 1
  2. y x = a 0 + a 1 x - 3 a 0 x 2 - a 1 x 3 3
  3. R = ∞

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