Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Solução de EDO em série – ponto ordínário, Séries de potências

Determinar uma solução em série para o problema de valor inicial

1 + x 2 y ' ' + x y ' - 25 y = 0 y 0 = 0 ,         y ' 0 = 1                    

E determine o raio de convergência dessa solução.

Passo 1

Como o problema pede, vamos solucionar o problema definindo y ( x ) como uma série de potências. Como, para essa questão, temos P x = 1 + x 2 , como P 0 = 1 ≠ 0 , o ponto 0 é ordinário e podemos definir a série em torno dele para facilitar nossa vida.

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Passo 2

Vamos, então, definir:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Fazendo essas substituições na EDO, temos:

1 + x 2 ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 + x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 - 25 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 + ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n + ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 25 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passo 3

Precisamos, agora, igualar as potências de x por x n . Temos:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice n (nesse caso, 2 ).

Temos, então:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n + ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n + ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 25 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passo 4

Agora devemos igualar os índices dos somatórios pelo maior (nesse caso n = 2 ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n = 2 a 2 + 6 a 3   x + ∑ n = 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

Como o somatório deve passar a começar em n = 2 , colocamos para fora os termos correspondentes a n = 0 e n = 1 . Vamos fazer o mesmo as outras séries:

∑ n = 1 ∞ n a n x n = a 1 x + ∑ n = 2 ∞ n a n x n

∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + ∑ n = 2 ∞ a n x n

Temos, então:

2 a 2 + 6 a 3   x + ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n + ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n + a 1 x + ∑ n = 2 ∞ n a n x n - 25 a 0 + a 1 x + ∑ n = 2 ∞ a n x n = 0

Passo 5

Vamos, então, juntar os somatórios colocando x n em evidência e agrupar os termos “soltos”.

2 a 2 + 6 a 3   x + ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n + ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n + a 1 x + ∑ n = 2 ∞ n a n x n - 25 a 0 - 25 a 1 x - 25 ∑ n = 2 ∞ a n x n = 0

2 a 2 - 25 a 0 + 6 a 3 + a 1 - 25 a 1 x + ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n + ∑ n = 2 ∞ n a n x n - 25 ∑ n = 2 ∞ a n x n = 0

( 2 a 2 - 25 a 0 ) + ( 6 a 3 - 24 a 1 ) x + ∑ n = 2 ∞ [ n + 2 n + 1 a n + 2 + n n - 1 a n + n a n - 25 a n ] x n = 0

( 2 a 2 - 25 a 0 ) + ( 6 a 3 - 24 a 1 ) x + ∑ n = 2 ∞ [ n + 2 n + 1 a n + 2 + n 2 - n + n - 25 a n ] x n = 0

( 2 a 2 - 25 a 0 ) + ( 6 a 3 - 24 a 1 ) x + ∑ n = 2 ∞ [ n + 2 n + 1 a n + 2 + n 2 - 25 a n ] x n = 0

Passo 6

Como x n ≠ 0 , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.

[ n + 2 n + 1 a n + 2 + n 2 - 25 a n ] = 0

Os coeficientes de cada termo “solto”, fora do somatório também devem ser zero.

2 a 2 - 25 a 0 = 0       →       a 2 = 25 a 0 2

6 a 3 - 24 a 1 = 0       →       a 3 = 4 a 1

Encontramos nossa relação de recorrência.

Passo 7

Vamos agora, calcular alguns a n ’s. Temos as seguintes informações iniciais y 0 = 0 e y ' 0 = 1 , portanto:

a 0 = 0

a 1 = 1

a 2 = 25 a 0 2 = 0

a 3 = 4 a 1 = 4

Beleza? Agora vamos ver os outros termos!

Nós podemos saber que a relação entre os termos é feita de 2 em 2 por que a relação de recorrência associa termos a n a a n + 2 . Olha só

Para os n ’s pares (para n = 0 nós já sabemos que a 2 = 0 )

para   n = 2       →       2 + 2 2 + 1 a 2 + 2 + 2 2 - 25 a 2 = 0         →       a 4 = 21 a 2 12 = 0

para   n = 4       →       4 + 2 4 + 1 a 4 + 2 + 4 2 - 25 a 4 = 0           →       a 6 = 9 a 4 30 = 0

Portanto, todos os a n ’s de índice par, que dependem do valor de a 2 , serão iguais a zero.

Para os n ’s ímpares (para n = 1 nós já sabemos que a 3 = 4

para   n = 3       →       3 + 2 3 + 1 a 3 + 2 + 3 2 - 25 a 3       = 0       →       a 5 = 16 a 3 20 = 16 5

para   n = 5       →       5 + 2 5 + 1 a 5 + 2 + 5 2 - 25 a 5       = 0       →       a 7 = 0

para   n = 7       →       7 + 2 7 + 1 a 7 + 2 + 7 2 - 25 a 7       = 0       →       a 9 = 7 2 - 25 a 7 72 = 0

Pera aí, os a n ’s ímpares começaram a dar zero também! Isso mesmo, não está errado, no a 7 temos 25 - 25 a 5 = 0 e a partir daí todos os a n ’s de índice ímpar, que dependem de a 7 , serão zero também.

Muito bem, o que sobrou aqui? Temos:

a 0 = 0

a 1 = 1

a 2 = 0

a 3 = 4

a 4 = 0

a 5 = 16 5

a 6 = a 7 = a 8 = … = 0

Então a série de potências é finita, acaba no a 5 , percebeu?

Passo 8

Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o a n .

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5

Substituindo as expressões que encontramos para os a n ’s, termos

y ( x ) = x + 4 x 3 + 16 x 5 5

Passo 9

Certo, agora vamos ver a convergência. Peraí, como vamos aplicar os testes de convergência para séries, se não encontramos uma série?

Isso é uma série, porém finita, o que quer dizer que ela sempre vai ter uma soma! Sua soma é exatamente x + 4 x 3 + 16 x 5 5 , para qualquer x .

É como se tivéssemos:

y x = x + 4 x 3 + 16 x 5 5 + 0 + 0 + 0 … + 0

Como nunca teremos nenhum valor a acrescentar a essa soma, já sabemos que a série converge.

Como a série converge para qualquer valor de x , ela possui raio de convergência infinito.

R = ∞

Obs: você também poderia dizer que o raio é infinito porque encontramos um polinômio.

Resposta

y ( x ) = x + 4 x 3 + 16 x 5 5

R = ∞

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