Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Ache a solução geral, dada em séries de potências centradas em 0 , da equação diferencial:

y ' ' - x 2 y = 0

Passo 1

Vamos lá, essa questão é grande mas basta fazer com calma. Então, temos:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Assim, podemos escrever a derivada segunda de y como:

y ' ' = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Mas temos um problema com os índices, certo? Então devemos ajustar esse problema mudando os índices para m = n - 2

y ' ' = ∑ m = 0 ∞ ( m + 2 ) ( m + 1 ) a m + 2 x m

Agora vamos arrumar o segundo termo:

x 2 y = x 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n =   ∑ n = 0 ∞ a n x n + 2

E nesse cara podemos fazer a mudança de índices m = n + 2

x 2 y =   ∑ m = 2 ∞ a m - 2 x m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Jogando isso tudo na equação temos

∑ m = 0 ∞ ( m + 2 ) ( m + 1 ) a m + 2 x m - ∑ m = 2 ∞ a m - 2 x m = 0

Se pegarmos os dois primeiros termos do primeiro somatório, os dois somatórios começarão em m = 2

∑ m = 0 ∞ ( m + 2 ) ( m + 1 ) a m + 2 x m = 2 a 2 + 6 a 3 x + ∑ m = 2 ∞ ( m + 2 ) ( m + 1 ) a m + 2 x m

Assim, a equação fica

2 a 2 + 6 a 3 x + ∑ m = 2 ∞ m + 2 m + 1 a m + 2 x m - ∑ m = 2 ∞ a m - 2 x m = 0

2 a 2 + 6 a 3 x + ∑ m = 2 ∞ m + 2 m + 1 a m + 2 x m - a m - 2 x m = 0

Com isso podemos escrever:

2 a 2 = 0   ⟹ a 2 =   0 6 a 3 = 0   ⟹ a 3 =   0 a m + 2 = a m - 2 m + 1 m + 2  

Passo 3

Agora vamos resolver essa recorrência para encontrarmos o termo geral.

a m + 2 = a m - 2 m + 1 m + 2

- Como a 2 = 0 , todos os coeficientes que dependem de a 2 serão nulos:

m = 4 → a 4 + 2 = a 4 - 2 4 + 1 4 + 2 → a 6 = a 2 5 6 = 0 5 6 = 0

m = 8 → a 8 + 2 = a 8 - 2 8 + 1 8 + 2 → a 10 = a 6 9 10 = 0 9 10 = 0

E assim por diante. Generalizando, todos os termos a 4 m + 2 são nulos.

- Como a 3 = 0 , todos os coeficientes que dependem de a 3 serão nulos também:

m = 5 → a 5 + 2 = a 5 - 2 5 + 1 5 + 2 → a 7 = a 3 6 7 = 0 6 7 = 0

m = 9 → a 9 + 2 = a 9 - 2 9 + 1 9 + 2 → a 11 = a 7 10 11 = 0 10 11 = 0

E assim por diante. Generalizando, todos os termos a 4 m + 3 são nulos.

- Assim, vamos calcular os coeficientes da forma a 4 m   e a 4 m + 1 , então podemos escrever:

a 4 m = a 4 m - 4 4 m 4 m - 1 = 1 4 m 4 m - 1 a 4 m - 8 4 m - 4 4 m - 5 = …

a 4 m = a 0 4 m 4 m - 1 4 m - 4 4 m - 5 … 4.3

a 4 m + 1 = a 4 m - 3 4 m + 1 4 m = 1 4 m + 1 4 m a 4 m - 7 4 m - 3 4 m - 4 = …

a 4 m + 1 = a 1 4 m + 1 4 m 4 m - 3 4 m - 4 … 5.4

Assim, temos que:

y = a 0 ∑ m = 0 ∞ x 4 m 4 m 4 m - 1 4 m - 4 4 m - 5 ⋯ 4 ⋅ 3 + a 1 ∑ m = 0 ∞ x 4 m + 1 4 m + 1 4 m ⋯ 5 ⋅ 4    

Resposta

y = C 1 ∑ m = 0 ∞ x 4 m 4 m 4 m - 1 4 m - 4 4 m - 5 ⋯ 4 ⋅ 3 + C 2 ∑ m = 0 ∞ x 4 m + 1 4 m + 1 4 m ⋯ 5 ⋅ 4    

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