Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

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Enunciado

5. Determine todas as soluções da equação dada ao redor do ponto x = 0 nos casos

  b   x 2 - 1 y ' ' + x y ' - y = 0

Passo 1

Bem, é uma EDO com coeficientes não constantes, então vamos aplicar séries para resolver, vemos que x = 0 , que é o ponto em que se quer analisar a resposta, é um ponto ordinário. Aí a gente viu na teoria que para ponto ordinário podemos chutar a seguinte solução:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Derivando:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Substituindo isso na EDO:

x 2 - 1 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passo 2

Agora vamos com calma, primeiro passe o x que está no primeiro somatório para dentro:

x 2 - 1 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ n a n x n - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

A primeira coisa a fazer sempre é deixar tudo com o mesmo expoente de x n , vemos que o segundo somatório está com a cara de x n - 2 , o que devemos fazer é substituir n por n + 2 , mas substitua em tudo hein!

∑ n + 2 = 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 2 - 1 ) a n + 2 x n + 2 - 2

Sacou?! Vamos só ajeitar as contas:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

Então vamos voltar para o somatório, substituindo agora esse somatório que obtivemos agora:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n + ∑ n = 1 ∞ n a n x n - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Eita que beleza! Mas ferrou, agora tem um cara começando em 2 , outro começando em 1 e o resto começando em 0 ! Nesses casos, você sempre abre os somatórios que começam antes até o valor do somatório que começa com o maior valor. No caso, o somatório que começa com o maior valor é o primeiro, porque ele começa em 2 e o resto em 0 e 1 , então vamos abrir os outros para começarem em 2 também!

- ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n = - 2 a 2 - 6 a 3 x - ∑ n = 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

∑ n = 1 ∞ n a n x n = a 1 x + ∑ n = 2 ∞ n a n x n

- ∑ n = 0 ∞ a n x n = - a 0 - a 1 x - ∑ n = 2 ∞ a n x n

Substituindo isso:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 a 2 - 6 a 3 x - ∑ n = 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n + a 1 x + ∑ n = 2 ∞ n a n x n - a 0 - a 1 x - ∑ n = 2 ∞ a n x n = 0

- 2 a 2 - 6 a 3 x + a 1 x - a 0 - a 1 x + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - ∑ n = 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n + ∑ n = 2 ∞ n a n x n - ∑ n = 2 ∞ a n x n = 0

- 2 a 2 - 6 a 3 x - a 0 + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - ∑ n = 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n + ∑ n = 2 ∞ n a n x n - ∑ n = 2 ∞ a n x n = 0

Opa! Agora que tudo está com o mesmo expoente e começando no mesmo valor, podemos juntar!

- 2 a 2 - a 0 - 6 a 3 x - ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 - a n + n a n x n = 0

Passo 3

Então ficou com essa cara aqui:

- 2 a 2 - a 0 - 6 a 3 x - ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 - a n + n a n x n = 0

Pelo princípio da identidade, isso só é igual a 0 se:

- 2 a 2 - a 0 = 0 - 6 a 3 x = 0 - n + 2 n + 1 a n + 2 + a n - n a n = 0

Da primeira equação temos que:

a 2 = - 1 2 a 0

Da segunda, nós temos que:

a 3 = 0

E da terceira, temos que:

a n + 2 = + a n - n a n n + 2 n + 1

Arrumando mais um pouco:

a n + 2 = - ( n - 1 ) n + 2 n + 1 a n   p a r a   n ≥ 2

Agora caímos na famosa relação de recorrência, né? Temos que achar uma forma geral pra ela, a gente só acha testando! Simbora:

    n = 2 → a 4 = - 2 - 1 4.3 a 2 = - 1 4.3 - 1 2 a 0 = 1 4.3 . 2 a 0 n = 3 → a 5 = - 2 5.4 a 3 = 0 n = 4 → a 6 = - 4 - 1 6.5 a 4 = - 3 6.5 1 4.3 . 2 a 0 = - a 0 5.6 . 4.2 n = 5 → a 7 = - 5 - 1 7.6 a 5 = 0 n = 6 → a 8 = - 6 - 1 8.7 a 6 = - 5 8.7 - a 0 5.6 . 4.2 = a 0 7.8 . 6.4 . 2  

Eita, negócio não é fácil, mas vamos com calma. Percebeu que todo a n com n = p a r ficou referido a a 0 . E todo a n com n = í m p a r ficou 0 , pois o primeiro já era zero, e como os outros dependiam deste, ficaram 0 também.

Assim, com a simplificação, temos para n par:

a 2 n = - 1 n 2 n - 1 n ! 2 n a 0 ,     n ≥ 2

Lá em cima, vimos que

a 2 = - 1 2 a 0

Repara que essa fórmula não está incluindo o a 0 , mas ela também serve para essa relação do a 2 com o a 0 . Assim, podemos começar a nossa relação em n = 1

a 2 n = - 1 n 2 n - 1 n ! 2 n a 0 ,     n ≥ 1

Além disso, não podemos afirmar nada sobre a 1 , então vamos deixá-lo quietinho.

A resposta fica:

y x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n - 1 n ! 2 n a 0 x 2 n + a 1 x

Resposta

y x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n - 1 n ! 2 n a 0 x 2 n + a 1 x

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