Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Solução de EDO – ponto singular

Suponha que y 1 x = 3 x 3 e y 2 = 5 x 5 são soluções da EDO

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Você pode dizer se o ponto x = 0 é um ponto ordinário ou singular? Justifique!

Passo 1

Pensa comigo, vai?

Se o ponto x = 0 for ordinário, as duas soluções por séries serão do tipo

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y 2 x = ∑ n = 0 ∞ b n x n

Mas se ele for singular, as soluções devem ser do tipo

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r 1

y 2 x = ∑ n = 0 ∞ b n x n + r 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como são necessárias duas condições para resolver este problema, em ponto ordinário a relação de recorrência deve aparecer de dois em dois. Isto é,

a n + 2 = f ( a n )

b n + 2 = g ( b n )

Beleza, com isso é estranho termos soluções do tipo y 1 x = 3 x 3 e y 2 = 5 x 5 . Quero dizer, se a relação de recorrência é de dois em dois, então x 3 e x 5 deveriam pertencer à mesma solução. Além disso, como poderia x 5 ser solução, sem os termos de ordem mais baixa ...?

Passo 3

Então, me parecem que elas são solução de um problema de ponto singular. E digo mais, com r 1 = 3 e r 2 = 5 . Vamos testar?

Oras, se isso for verdade, então a 0 = b 0 = 1 e todos os demais coeficientes serão nulos:

y 1 x = a 0 ⏟ 1 x 3 ⏞ r 1 + a 1 ⏟ 0 x 4 ⏞ r 1 + 1 + a 2 ⏟ 0 x 5 ⏞ r 1 + 2 + … = x 3

y 2 x = b 0 ⏟ 1 x 5 ⏞ r 2 + b 1 ⏟ 0 x 6 ⏞ r 2 + 1 + b ⏟ 0 x 7 ⏞ r 2 + 2 + … = x 5

Lembre-se também que a relação de recorrência é de um em um agora (uma relação para cada série). Mas ela pode ser tal que a partir de a 1 e de b 1 todos os termos sejam nulos, sem problema nenhum...

Logo, o ponto x = 0 deve ser singular!

Resposta

Singular.

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