Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

3. Prove que a série de potências y = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 x 2 n é solução da equação:

x y ' ' + y ' + x y = 0

OBS: No enunciado original, a série dada contém erro de digitação.

Passo 1

Bem, é uma EDO com coeficientes não constantes, e como estamos supondo que a série é solução, precisamos calcular suas derivadas:

y = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 x 2 n

Derivando:

y ' x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n x 2 n - 1

y ' ' ( x ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n ( 2 n - 1 ) x 2 n - 2

Agora, vamos substituir esses termos no lado esquerdo da EDO e verificar se eles realmente somam zero. Caso sim, então a série é solução.

x ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n 2 n - 1 x 2 n - 2 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n x 2 n - 1 + x ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 x 2 n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos com calma, primeiro passe o x que está no primeiro e terceiro somatórios para dentro:

x ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n 2 n - 1 x 2 n - 2 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n x 2 n - 1 + x ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 x 2 n

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n 2 n - 1 x 2 n - 1 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n x 2 n - 1 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 x 2 n + 1

A primeira coisa a fazer sempre é deixar tudo com o mesmo expoente de x 2 n - 1 , vemos que o primeiro e segundo somatórios estão com a cara de x 2 n + 1 , o que devemos fazer é substituir n por n - 1 , mas substitua em tudo hein!

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 x 2 n + 1 = ∑ n - 1 = 0 ∞ - 1 n - 1 2 2 n - 1 n - 1 ! 2 x 2 n - 1 + 1

Arrumando as contas, vamos ter

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 2 n - 2 n - 1 ! 2 x 2 n - 1

Então vamos voltar para o somatório, substituindo agora esse somatório que obtivemos agora:

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n 2 n - 1 x 2 n - 1 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n x 2 n - 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 2 n - 2 n - 1 ! 2 x 2 n - 1

Eita que beleza! Mas ferrou, agora tem dois caras começando em 0 e o outro começando em 1 .

Nesses casos, você sempre abre os somatórios que começam antes até o valor do somatório que começa com o maior valor.

No caso, o somatório que começa com o maior valor é o último, porque ele começa em 1 , então vamos abrir os outros para começarem em 1 também!

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n 2 n - 1 x 2 n - 1 = 1 2 0 0 ! 2 2.0 2.0 - 1 x 2.0 - 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n 2 n - 1 x 2 n - 1

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n 2 n - 1 x 2 n - 1 = 0 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n 2 n - 1 x 2 n - 1

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n x 2 n - 1 = 1 2 0 0 ! 2 2.0 x 2.0 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n x 2 n - 1

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n x 2 n - 1 = 0 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n x 2 n - 1

Substituindo isso:

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n 2 n - 1 x 2 n - 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n x 2 n - 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 2 n - 2 n - 1 ! 2 x 2 n - 1

Opa! Agora que tudo está com o mesmo expoente e começando no mesmo valor, podemos juntar!

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n 2 n - 1 + - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n + - 1 n - 1 2 2 n - 2 n - 1 ! 2 x 2 n - 1

Passo 3

Finalmente, vamos ver se esses coeficientes somam 0 :

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n 2 n - 1 + - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n + - 1 n - 1 2 2 n - 2 n - 1 ! 2 x 2 n - 1

- 1 n 2 2 n n ! 2 2 n 2 n - 1 + - 1 n 2 2 n n ! 2 2 n + - 1 n - 1 2 2 n - 2 n - 1 ! 2 = - 1 n 4 n 2 - 2 n + - 1 n 2 n + 2 2 n 2 - 1 n - 1 2 2 n n ! 2

Colocando em evidência no numerador:

- 1 n 4 n 2 - 2 n + - 1 n 2 n + 2 2 n 2 - 1 n - 1 2 2 n n ! 2 = - 1 n 4 n 2 - 2 n + 2 n - 4 n 2 2 2 n n ! 2 = 0

AEEEEEEEE!!! Sim, é solução.

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