Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Considere a seguinte equação diferencial

y ' ' - 2 x y ' + α y = 0

Em que α é uma constante e cuja solução buscaremos na forma de uma série de potências.

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

  1. Encontre a relação de recorrência entre os coeficientes.
  2. Considere a solução geral na forma y = a 0 y 1 + a 1 y 2 . Determine α de forma que uma das soluções y 1 o u   y 2 seja um polinômio de grau 5

Passo 1

A ideia aqui é pegar y x e substituir na equação diferencial! Então, precisaremos calcular suas derivadas de primeira e segunda ordem. Veja só:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y ' x = ∑ n = 1 ∞ a n n x n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x n - 2

E substituindo na equação:

∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x n - 2 - 2 x ∑ n = 1 ∞ a n n x n - 1 + α ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

E então desenvolvendo a multiplicação pelos termos:

∑ n = 2 ∞ a n n n - 1 x n - 2 - 2 ∑ n = 1 ∞ a n n x n + α ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que reescrever as equações para que todas tenham x n

∑ n = 0 ∞ a n + 2 ( n + 2 ) n + 1 x n - 2 ∑ n = 1 ∞ a n n x n + α ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Colocando cada uma das séries para começar de n = 1

2 a 2 + α a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n + 2 ( n + 2 ) n + 1 x n - 2 ∑ n = 1 ∞ a n n x n + α ∑ n = 1 ∞ a n x n = 0

α a 0 + 2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ a n + 2 n + 2 n + 1 - 2 n - α a n   x n = 0

Passo 3

Dessa forma a nossa relação de recorrência será.

a n + 2 = 2 n - α a n n + 2 n + 1

Vamos calcular alguns valores para ver se encontramos alguma formula mais bonita.

a 2 = - α a 0 2

a 3 = 2 - α a 1 6

a 4 = 4 - α a 2 12 = - 4 - α α a 0 24

a 5 = 6 - α a 3 20 = 6 - α 2 - α a 1 120

a 6 = 8 - α a 4 30 = - 8 - α 4 - α α a 0 720

Dessa forma podemos reescrever nossas formulas de recorrência para quando n for par e para quando for impar.

a 2 k = ( ∏ n = 0 k 4 n - α ) a 0 2 k !

a 2 k + 1 = ( ∏ n = 1 k 4 n - 2 - α ) a 1 ( 2 k + 1 ) !

Passo 4

b)

Para resolvermos esse item vamos ter que perceber que os nosso coeficientes ficaram independentes, os pares dos impares. Dessa forma podemos escrever a solução da seguinte forma

y = ∑ n = 0 ∞ a 2 n x 2 n + ∑ n = 0 ∞ a 2 n + 1 x 2 n + 1

Agora temos que pensar um α que faça uma dessas soluções chegar somente a ser um polinômio de grau 5.

Passo 5

Nós temos um polinômio que só tem potencias pares de x e outro q só tem potencias impares, então já sabemos com quem brincar né?

A ideia aqui é que a partir de a 7 pra frente tenhamos todos os coeficientes impares iguais a zero. Vamos analisar o a 7

a 7 = ( ∏ n = 1 3 4 n - 2 - α ) a 1 7 ! = 2 - α 6 - α 10 - α a 1 7 !

Temos 3 valores que fazem a 7 = 0 nessa equação, mas somente um que não vai zerar a 3 e a 5 . Por isso.

α = 10

Resposta

a)

a 2 k = ( ∏ n = 0 k 4 n - α ) a 0 2 k !

a 2 k + 1 = ( ∏ n = 1 k 4 n - 2 - α ) a 1 ( 2 k + 1 ) !

b)

α = 10

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