Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

UNICAMP, Cálculo 3, P3 - 2011.1 - Vespertino, Questão 2

Considere a equação diferencial

3 - x 2 y ' ' - 3 x y ' - y = 0

a)Mostre que x 0 = 0 é um ponto ordinário desta equação.

b)Dado que a fórmula de recorrência da equação em (a) é:

a n + 2 = n + 1 3 n + 2 a n ,     n 0

Determine a solução satisfazendo as condições inicias y 0 = 1 e y ' 0 = - 2 . Determine o termo geral dessa solução.

c) Determine o raio mínimo de convergência da série de potências da solução em (b)

Passo 1

a)Recolocando a EDO:

3 - x 2 y ' ' - 3 x y ' - y = 0

Onde:

P x = 3 - x 2

Quando x = x 0 = 0 P 0 = 3

Como P 0 0 , concluí-se que x 0 = 0 é um ponto ordinário. É importante observar que os outros coeficientes são polinômios, logo eles são o que a gente chama de “analíticos” e é pelo fato de serem analíticos que podemos fazer essa análise de P ( 0 ) , mas na prática só lidaremos com EDOs que tenham coeficientes analíticos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

a n + 2 = n + 1 3 n + 2 a n

Começaremos a analisar:

n = 0 a 2 = 1 3.2 a 0 n = 1 a 3 = 2 3.3 . a 1 n = 2 a 4 = 3 3.4 a 2 = 3.1 3 3 . 4.2 a 0 n = 3 a 5 = 4 3.5 a 3 = 4 3.5   2 3.3 a 1 = 4.2 . 1 3 2 5.3 . 1 a 1

Tem um padrão para os a k par e ímpar, um fica em função de a 0 e o outro de a 1 .

Da pra perceber que no a p a r , além de ficar em função do a 0 ele fica em função de um fatorial de ímpares no numerador que inicia um grau menor que k e um fatorial de pares no denominador, que inicia com a mesmo valor de k , isso multiplicado por 3 k - 1 :

a 2 k = 2 k - 1 2 k - 3 3.1 3 k - 1 2 k 2 k - 2 4.2

Mas veja que, fatoriais pares têm características legais:

2 k 2 k - 2 4.2 = 2 k k !

Assim fica:

a 2 k = 2 k - 1 2 k - 3 3.1 3 k - 1 2 k k ! ,   k 1

Então a solução 1 é:

y 1 = c 0 + k = 1 2 k - 1 2 k - 3 3.1 3 k - 1 2 k k ! c 0

Onde c 0 = y 0 = 1

OBS:Não esqueça nunca do c 0 e do c 1 x nas soluções hen! As duas respostas ficam em função deles, são os termos inicias da série

Vamos para o ímpar

a 2 k + 1 = 2.4 . 6 2 k 3 k ( 3.5 . 7 2 k + 1 ) a 1 = 2 k k ! 3 k ( 1.3 . 5 2 k + 1 a 1 ,     k 1

Existe um paranauê para fatoriais ímpares também! Da uma pensada, você pode pensar no fatorial ímpar como um fatorial normal dividido por um fatorial par, certo?

1.3 . 5 2 k + 1 = 2 k + 1 ! 2.4 . 6 2 k

Mas a gente viu como trabalhar com fatoriais pares!

1.3 . 5 2 k + 1 = 2 k + 1 ! 2.4 . 6 2 k = 2 k + 1 ! 2 k k !

Então?

1 1.3 . 5 2 k + 1 = 2 k k ! 2 k + 1 !

Sacou? Vamos substituir isso!

a 2 k + 1 = 2 k k ! 2 3 k 2 k + 1 !

Então a segunda solução é:

y 2 = c 1 x + k = 1 2 k k ! 2 3 k 2 k + 1 ! c 1

Onde c 1 = y ' 0 = - 2

Percebe que dava pra ajeitar os ímpares em y 1 também, mas isso é desnecessário, você já mostrou a solução, já ganhou seu ponto! O resto eu só mostrei mais ferramentas de manipulação pra você, mas o importante é chegar na resposta! A solução geral é:

y = y 1 + y 2

Passo 3

c) Para achar o raio de convergência mínimo, só temos que achar o ponto singular, ou seja, quando P 0 = 0

Para isso vemos que:

- x 2 + 3 = 0 x = ± 3

Agora é só calcular a distância do seu ponto ordinário, que é zero, ao ponto singular mais próximo, tanto para 3 ou para - 3 a distância é 3

Essa distância é o radio de convergência mínimo!

R m í n = 3

Resposta

a )

P 0 = 3

b )

y 1 = c 0 + k = 1 2 k - 1 2 k - 3 3.1 3 k - 1 2 k k ! c 0

y 2 = c 1 x + k = 1 2 k k ! 2 3 k 2 k + 1 ! c 1

y = y 1 + y 2

c )

R m í n = 3

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