Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Solução de EDO em série - ponto ordinário

Considere a equação diferencial

3 - x 2 y ' ' - 3 x y ' - y = 0

a)Mostre que x 0 = 0 é um ponto ordinário desta equação.

b)Dado que a fórmula de recorrência da equação em (a) é:

a n + 2 = n + 1 3 n + 2 a n ,     n ≥ 0

Determine a solução satisfazendo as condições inicias y 0 = 1 e y ' 0 = - 2 . Determine o termo geral dessa solução.

c) Determine o raio mínimo de convergência da série de potências da solução em (b)

Passo 1

a)Recolocando a EDO:

3 - x 2 y ' ' - 3 x y ' - y = 0

Onde:

P x = 3 - x 2

Quando x = x 0 = 0 P 0 = 3

Como P 0 ≠ 0 , concluí-se que x 0 = 0 é um ponto ordinário. É importante observar que os outros coeficientes são polinômios, logo eles são o que a gente chama de “analíticos” e é pelo fato de serem analíticos que podemos fazer essa análise de P ( 0 ) , mas na prática só lidaremos com EDOs que tenham coeficientes analíticos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

a n + 2 = n + 1 3 n + 2 a n

Começaremos a analisar:

n = 0 → a 2 = 1 3 ∙ 2 ∙ a 0 n = 1 → a 3 = 2 3 ∙ 3 ∙ a 1 n = 2 → a 4 = 3 3 ∙ 4 ∙ a 2 = 3 ∙ 1 3 2 ∙ 4 ∙ 2 ∙ a 0 n = 3 → a 5 = 4 3 ∙ 5 ∙ a 3 = 4 3 ∙ 5 ∙ 2 3 ∙ 3 ∙ a 1 = 4 ∙ 2 ∙ 1 3 2 ∙ 5 ∙ 3 ∙ 1 ∙ a 1

Tem um padrão para os a k par e ímpar, um fica em função de a 0 e o outro de a 1 .

Da pra perceber que no a p a r , além de ficar em função do a 0 ele fica em função de um fatorial de ímpares no numerador que inicia em n + 1   e um fatorial de pares no denominador, que inicia em n + 2 . Usando o subscrito 2 k para representar os termos pares, temos:

a 2 = 1 3 1 ∙ 2 ∙ a 0

a 4 = 3 ∙ 1 3 2 ∙ 4 ∙ 2 ∙ a 0

De forma geral:

a 2 k = 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … 2 k - 1 3 2 k 2 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … 2 k ∙ a 0 k = 1,2 , 3 …

Para o produto de termos ímpares, podemos fazer, por exemplo:

1 ∙ 3 ∙ 5 = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 2 ∙ 4 ∙ 6

1 ∙ 3 ∙ 5 = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 2 3 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 3

1 ∙ 3 ∙ 5 = 6 ! 2 3 ∙ 3 !

De forma geral:

1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ …   ∙ J = J + 1 ! 2 J + 1 2 ∙ J + 1 2 !

Pro nosso caso, temos:

1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … 2 k - 1 = 2 k - 1 + 1 ! 2 2 k - 1 + 1 2 ∙ 2 k - 1 + 1 2 !

1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … 2 k - 1 = 2 k ! 2 k ∙ k !

Para o produto de termos pares, podemos fazer, por exemplo:

2 ∙ 4 ∙ 6 = 2 3 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 3

2 ∙ 4 ∙ 6 = 2 3 ∙ 3 !

De forma geral:

2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ …   ∙ J = 2 J 2 ∙ J 2 !

Pro nosso caso, temos:

2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … 2 k = 2 2 k 2 ∙ 2 k 2 !

2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … 2 k = 2 k ∙ k !

Substituindo, temos:

a 2 k = 2 k ! 2 k ∙ k ! 3 k ∙ 2 k ∙ k ! ∙ a 0 = 2 k ! 3 k ∙ 2 2 k ∙ k ! 2 k = 1,2 , 3 … ∙ a 0

Para os termos ímpares, temos:

a 3 = 2 3 ∙ 3 ∙ a 1

a 5 = 4 ∙ 2 ∙ 1 3 2 ∙ 5 ∙ 3 ∙ 1 ∙ a 1

De forma geral, usando o subscrito 2 k + 1 para representar os termos ímpares, temos:

a 2 k + 1 = 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … 2 k 3 k ∙ 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … 2 k + 1 ∙ a 1 k = 1,2 , 3 …

Já sabemos como fica o produto de termos pares:

2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ …   ∙ J = 2 J 2 ∙ J 2 !

2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … 2 k = 2 k ∙ k !

E ímpares também:

1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ …   ∙ J = J + 1 ! 2 J + 1 2 ∙ J + 1 2 !

1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … 2 k + 1 = 2 k + 2 ! 2 k + 1 ∙ k + 1 !

Substituindo, temos:

a 2 k + 1 = 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … 2 k + 1 3 k ∙ 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … 2 k ∙ a 1 k = 1,2 , 3 …

a 2 k + 1 = 2 k ∙ k ! 3 k ∙ 2 k + 2 ! 2 k + 1 ∙ k + 1 ! ∙ a 1 k = 1,2 , 3 …

a 2 k + 1 = 2 k ∙ k ! ∙ k + 1 ! ∙ 2 k + 1 3 k ∙ 2 k + 2 ! ∙ a 1 k = 1,2 , 3 …

a 2 k + 1 = 2 k ∙ k ! ∙ k + 1 ∙ k ! ∙ 2 k ∙ 2 3 k ∙ 2 k + 2 ! ∙ a 1 k = 1,2 , 3 …

a 2 k + 1 = 2 k ∙ k ! 2 ∙ 2 ∙ k + 1 3 k ∙ 2 k + 2 ! ∙ a 1 k = 1,2 , 3 …

a 2 k + 1 = 2 k ∙ k ! 2 ∙ 2 k + 2 3 k ∙ 2 k + 2 ∙ 2 k + 1 ! ∙ a 1 k = 1,2 , 3 …

a 2 k + 1 = 2 k ∙ k ! 2 3 k ∙ 2 k + 1 ! ∙ a 1 k = 1,2 , 3 …

A solução vai ser então:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y = a 0 + a 1 x + ∑ n = 2 ∞ a n x n

Transformando o somatório em termos ímpares e pares, vamos ter:

y = a 0 + a 1 x + ∑ k = 1 ∞ a 2 k x 2 k + ∑ k = 1 ∞ a 2 k + 1 x 2 k + 1

y = a 0 + a 1 x + ∑ k = 1 ∞ 2 k ! 3 k ∙ 2 2 k ∙ k ! 2 ∙ a 0 ∙ x 2 k + ∑ k = 1 ∞ 2 k ∙ k ! 2 3 k ∙ 2 k + 1 ! ∙ a 1 ∙ x 2 k + 1

y = a 0 + a 1 x + a 0 ∙ ∑ k = 1 ∞ 2 k ! 3 k ∙ 2 2 k ∙ k ! 2 ∙ x 2 k + a 1 ∑ k = 1 ∞ 2 k ∙ k ! 2 3 k ∙ 2 k + 1 ! ∙ x 2 k + 1

Como y 0 = 1 , vamos ter:

y = a 0 = 1

Como y ' 0 = - 2 , vamos ter:

y ' = a 1 + a 0 ∙ ∑ k = 2 ∞ 2 k ! ∙ 2 k 3 k ∙ 2 2 k ∙ k ! 2 ∙ x 2 k - 1 + a 1 ∙ ∑ k = 2 ∞ 2 k ∙ k ! 2 ∙ 2 k 3 k ∙ 2 k + 1 ! ∙ x 2 k

y ' = a 1 = - 2

Portanto a resposta será:

y = 1 - 2 x + ∑ k = 1 ∞ 2 k ! 3 k ∙ 2 2 k ∙ k ! 2 ∙ x 2 k - 2 ∙ ∑ k = 1 ∞ 2 k ∙ k ! 2 3 k ∙ 2 k + 1 ! ∙ x 2 k + 1

Passo 3

c) Para achar o raio de convergência mínimo, só temos que achar o ponto singular, ou seja, quando P 0 = 0

Para isso vemos que:

- x 2 + 3 = 0 x = ± 3

Agora é só calcular a distância do seu ponto ordinário, que é zero, ao ponto singular mais próximo, tanto para 3 ou para - 3 a distância é 3

Essa distância é o radio de convergência mínimo!

R m í n = 3

Resposta

  1. P 0 = 3
  2. y = 1 - 2 x + ∑ k = 1 ∞ 2 k ! 3 k ∙ 2 2 k ∙ k ! 2 ∙ x 2 k - 2 ∙ ∑ k = 1 ∞ 2 k ∙ k ! 2 3 k ∙ 2 k + 1 ! ∙ x 2 k + 1
  3. R m í n = 3

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