Utilizando o método de séries de potências, resolva a EDO a seguir

y ' ' + y = x 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de EDO. Dessa vez temos que resolver EDO´S de segunda ordem usando séries de potências. E aí? Lembram como resolvemos esse tipo de problema com esse método?

Vamos fazer uma revisão!!!!

Assumimos que a solução da EDO é da seguinte forma

y ( x ) = ∑ i = 0 ∞ a i x i

Calculamos

y ' ( x )

Que pela linearidade da derivada é:

y ' ( x ) = ∑ i = 0 ∞ i a i x i - 1

E o

y ' ' ( x )

Que pela linearidade da derivada ��:

y ' ' ( x ) = ∑ i = 0 ∞ i ( i - 1 ) a i x i - 2

Depois disso substituímos na equação original para podermos encontrar os valores dos coeficientes a i ´s.

Bora Resolver a EDO

Passo 2

Vamos resolver nossa EDO

y ' ' + y = x 2

Assumimos que a solução é da forma

y ( x ) = ∑ i = 0 ∞ a i x i

Então, pela nossa revisão,

y ' ( x ) = ∑ i = 0 ∞ i a i x i - 1

y ' ' ( x ) = ∑ i = 0 ∞ i ( i - 1 ) a i x i - 2

Substituindo na equação original

∑ i = 0 ∞ i ( i - 1 ) a i x i - 2 + ∑ i = 0 ∞ a i x i = 0

vamos fazer i - 2 = u no primeiro somatório, então

∑ i = 2 ∞ i ( i - 1 ) a i x i - 2 + ∑ i = 1 ∞ i a i x i = ∑ u = 0 ∞ ( u + 2 ) ( u + 1 ) a u + 2 x u + ∑ i = 0 ∞ a i x i

Dessa forma, podemos juntar os somatórios

∑ u = 0 ∞ ( u + 2 ) ( u + 1 ) a u + 2 x u + ∑ i = 0 ∞ a i x i

= ∑ u = 0 ∞ ( u + 2 ) ( u + 1 ) a u + 2 x u + a u x u

mas precisamos que

∑ i = 0 ∞ i ( i - 1 ) a i x i - 2 + ∑ i = 0 ∞ a i x i = ∑ u = 0 ∞ ( u + 2 ) ( u + 1 ) a u + 2 x u + a u x u = x 2

Vamos analisar a igualdade. Para

∑ u = 0 ∞ ( u + 2 ) ( u + 1 ) a u + 2 x u + a u x u = x 2

precisamos que todos os coeficientes que não acompanham x 2 tem que ser zero, pois temos uma igualdade entre polinômios.

Passo 3

Vamos analisar as potências de x com calma

∑ u = 0 ∞ ( u + 2 ) ( u + 1 ) a u + 2 x u + a u x u

= 2 a 2 + a 0 + ( 6 a 3 + a 1 ) x + ( 12 a 4 + a 2 ) x 2   + ( 20 a 5 + a 3 ) x 3 + ( 30 a 6 + a 4 ) x 4 + ⋯

Note que os coeficientes de índice par só aparecem nas potências pares, e o de índices ímpares nas potências ímpares. Como comentado no passo anterior, precisamos que todos os coeficientes que não acompanham x 2 tem que ser zero, pois temos uma igualdade entre polinômios. Então:

6 a 3 + a 1 = 0

⇒ a 3 = - a 1 / 6

20 a 5 + a 3 = 0

⇒ a 5 = - a 3 / 20

= a 1 / 120

Ou seja,

a 2 n + 3 = ( - 1 ) n + 1 a 1 / ( 2 n + 3 ) !

Agora, vamos verificar os demais coeficientes

2 a 2 + a 0 = 0

⇒ a 2 = - a 0 / 2

( 12 a 4 + a 2 ) = 1

⇒ a 4 = ( 1 + a 0 / 2 ) / 12

Além disso,

30 a 6 + a 4 = 0

⇒ a 6 = - ( 1 + a 0 / 2 ) / 30 * 12

Juntando isso, podemos concluir que:

a 2 n = ( - 1 ) n a 0 / ( 2 n ! ) ,   p a r a   n = 0,1

a 2 n = ( - 1 ) n ( 2 / ( 2 n ! ) + a 0 / ( 2 n ! ) ) ,   p a r a   n > 1

Então a nossa solução é:

y ( x ) = ∑ i = 0 ∞ a i x i

com

a 2 n = ( - 1 ) n a 0 / ( 2 n ! ) ,   p a r a   n = 0,1

a 2 n = ( - 1 ) n ( 2 / ( 2 n ! ) + a 0 / ( 2 n ! ) ) ,   p a r a   n > 1

a 2 n + 3 = ( - 1 ) n + 1 a 1 / ( 2 n + 3 ) !

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de EDO, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

Desenvolvimento acima

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