Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Solução em série para EDO – ponto ordinário

Determine a solução geral da equação diferencial y ' ' + x y ' + 2 y = 0 em série de potências centrada em 0 e dê o seu raio de convergência

Passo 1

Então vamos supor que a solução seja uma série de potências centrada:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) a ( n + 1 ) x n

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

Mas veja que:

x y ' = ∑ n = 1 ∞ n a n x n = ∑ n = 0 ∞ n a n x n

Isso porque quando n = 0 , o termo da 0 de qualquer forma, então não muda nada.

Substituindo isso na EDO:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n + ∑ n = 0 ∞ n a n x n + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n

Vamos juntar isso daí e colocar x n em evidência!

∑ n = 0 ∞ [ n + 2 n + 1 a n + 2 + n a n + 2 a n   ] x n = 0

Tirando a solução triviado, isso só da 0 quando:

n + 2 n + 1 a n + 2 + n a n + 2 a n = 0

Assim caímos na relação de recorrência:

a n + 2 = - a n n + 1 ,   n = 0,1 , 2 …

Então vamos verificar isso pelos testes:

n = 0 →     a 2 = - a 0 1 n = 1 → a 3 = - a 1 2

n = 2 → a 4 = - a 2 3 = a 0 3.1

n = 3 → a 5 = - a 3 4 = a 1 4.2

n = 4 → a 6 = a 4 5 = - a 0 5.3 . 1

n = 5 → a 7 = a 5 6 → a 7 = - a 1 6.4 . 2

Da pra perceber que existem duas sequências, uma para n = p a r → 2 n e outra para n = í m p a r → 2 n - 1

Então vamos ver para o par:

n = 0 →     a 2 = - a 0 1

n = 2 → a 4 = - a 2 3 = a 0 3.1

n = 4 → a 6 = a 4 5 = - a 0 5.3 . 1

Então vemos que a relação é:

a 2 n = - 1 n a 0 2 n - 1 2 n - 3 … 1

Agora para os ímpares:

n = 1 → a 3 = - a 1 2

n = 3 → a 5 = - a 3 4 = a 1 4.2

n = 5 → a 7 = a 5 6 → a 7 = - a 1 6.4 . 2

A relação fica:

a 2 n + 1 = - 1 n a 1 2 n 2 n - 2 … 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então a solução geral é:

y x = ∑ n = 0 ∞ ( a 2 n x 2 n ) + ∑ n = 0 ∞ a 2 n + 1 x 2 n + 1

y x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 n a 0 2 n - 1 2 n - 3 … 1 x 2 n ) + ∑ n = 0 ∞ - 1 n a 1 2 n 2 n - 2 … 2 x 2 n + 1

Vamos aplicar o critério da razão para achar o raio de convergência:

lim n → ∞ ⁡ x 2 n + 2 2 n + 1 2 n - 1 … 1 2 n - 1 2 n - 3 … 1 x 2 n = lim n → ∞ ⁡ x 2 2 n + 1 = 0

lim n → ∞ ⁡ x 2 n + 3 2 n + 2 2 n … 2 2 n 2 n - 2 … 2 x 2 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ x 2 2 n + 2 = 0

Para as duas séries o raio de convergência dá infinito, logo para uma série que representa a soma dessas duas séries o raio de convergência também dará infinito!

R = ∞

Resposta

y x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 n a 0 2 n + 1 2 n - 1 … 1 x 2 n ) + ∑ n = 0 ∞ - 1 n a 1 2 n + 2 2 n 2 n - 2 … 2 x 2 n + 1

R = ∞

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