3 – Encontre a fórmula de recorrência e os 6 primeiros termos da solução em série de potências do PVI:

y ' ' - 2 x y ' - y = 1 1 - x y 0 = 1 y ' 0 = 2

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nosso objetivo aqui é usar a solução por séries para obter os 6 primeiros termos do coeficiente e também obter a relação de recorrência.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Na solução por séries, fazemos com que a solução de uma EDO genérica dada por y ' ' + p x y ' + q x y = 0 seja estruturada por

y x = ∑ n = 0 ∞ C n x n

Assim, calculando a primeira e a segunda derivada de y x e substituindo na EDO, podemos fazer algumas relações que vão nos ajudar.

Porém, perceba que a EDO não é homogênea então, para obter a solução particular, usamos outro método e para esse exercício, vamos considerar que essa equação é homogênea.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Calculando a primeira derivada de y x , temos, pelo método de derivação polinomial

y ' x = ∑ n = 1 ∞ C n n x n - 1

Já a segunda derivada, pelo mesmo método é igual a

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ C n n n - 1 x n - 2

Substituindo y x , y ' x e y ' ' x na EDO y ' ' - 2 x y ' - y = 0 , temos

∑ n = 2 ∞ C n n n - 1 x n - 2 - 2 x ∑ n = 1 ∞ C n n x n - 1 - ∑ n = 0 ∞ C n x n = 0

Passando 2 x para dentro do somatório e passando n para n + 2 no primeiro termo...

∑ n = 0 ∞ C n + 2 n + 2 n + 1 x n - ∑ n = 1 ∞ 2 C n n x n - ∑ n = 0 ∞ C n x n = 0

Perceba que o primeiro e o terceiro termo começa em n = 0 , mas o segundo termo começa em n = 1 . Por isso, vamos escrever o primeiro somatório do primeiro e do terceiro termo para deixar todos em n = 1 .

Sacou? Bora lá! 😊

Passo 3

Reescrevemos o primeiro termo como

∑ n = 0 ∞ C n + 2 n + 2 n + 1 x n = C 0 + 2 0 + 2 0 + 1 x 0 + ∑ n = 1 ∞ C n + 2 n + 2 n + 1 x n

∑ n = 0 ∞ C n + 2 n + 2 n + 1 x n = 2 C 2 + ∑ n = 1 ∞ C n + 2 n + 2 n + 1 x n

E para o terceiro termo, temos

∑ n = 0 ∞ C n x n = C 0 x 0 + ∑ n = 1 ∞ C n x n  

∑ n = 0 ∞ C n x n = C 0 + ∑ n = 1 ∞ C n x n

Substituindo na EDO, temos que

∑ n = 0 ∞ C n + 2 n + 2 n + 1 x n - ∑ n = 1 ∞ 2 C n n x n - ∑ n = 0 ∞ C n x n = 0

2 C 2 + ∑ n = 1 ∞ C n + 2 n + 2 n + 1 x n - ∑ n = 1 ∞ 2 C n n x n - C 0 + ∑ n = 1 ∞ C n x n = 0

2 C 2 - C 0 + ∑ n = 1 ∞ C n + 2 n + 2 n + 1 x n - ∑ n = 1 ∞ 2 C n n x n - ∑ n = 1 ∞ C n x n = 0

Vamos juntar os três somatórios em um só

2 C 2 - C 0 + ∑ n = 1 ∞ C n + 2 n + 2 n + 1 x n - 2 C n n x n - C n x n = 0

2 C 2 - C 0 + ∑ n = 1 ∞ C n + 2 n + 2 n + 1 - 2 n + 1 C n x n = 0

Para a igualdade ser satisfeita, temos que

2 C 2 - C 0 = 0 C n + 2 n + 2 n + 1 - 2 n + 1 C n = 0 → C 2 = C 0 2 C n + 2 = 2 n + 1 C n n + 2 n + 1

Assim, vemos que a relação de recorrência é dada por

C n + 2 = 2 n + 1 C n n + 2 n + 1

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 4

Sabemos que y 0 = 1 e y ' 0 = 2 , isso nos diz que C 1 e C 2 são 1 e 2 respectivamente.

Então, obtendo os 6 primeiros termos, vamos obter

C 0 = 1

C 1 = 2

C 2 = C 0 2 → C 2 = 1 2

Para C 3 em diante, vamos usar a relação de recorrência.

Para n = 1

C 1 + 2 = 2 1 + 1 C 1 1 + 2 1 + 1 → C 3 = 1

Para n = 2

C 2 + 2 = 2 2 + 1 C 2 2 + 2 2 + 1 → C 4 = 5 24

Para n = 3

C 3 + 2 = 2 3 + 1 C 3 3 + 2 3 + 1 → C 5 = 7 20

Para n = 4

C 4 + 2 = 2 4 + 1 C 4 4 + 2 4 + 1 → C 6 = 1 16

Com isso, vemos que os 6 primeiros temos da nossa EDO é dada por

C 0 = 1 C 1 = 2 C 2 = 1 2 C 3 = 1 C 4 = 5 24 C 5 = 7 20 C 6 = 1 16

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

C n + 2 = 2 n + 1 C n n + 2 n + 1

C 0 = 1 C 1 = 2 C 2 = 1 2 C 3 = 1 C 4 = 5 24 C 5 = 7 20 C 6 = 1 16

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