Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

UNICAMP - (Cálculo 3) - P2 2020.1

Considere o seguinte problema de valor inicial:

3 y ' ' + 2 x y ' + 4 - x 2 y = 0

y 0 = - 2

y ' 0 = 3

  • Mostre que x 0 = 0 é um ponto ordinário.
  • Obtenha os 7 primeiros termos não nulos da solução em série em torno do ponto x 0 = 0 .

Passo 1

Falai galera, tudo certinho? Pra começar vamos provar que x 0 = 0 é um ponto ordinário. Como geralmente a gente conversa sobre pontos ordinários em EDO’s com essa cara:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

E temos essa EDO:

3 y ' ' + 2 x y ' + 4 - x 2 y = 0

Pô, então podemos comparar um com o outro e obter:

P x = 3 Q x = 2 x R x = 4 - x 2

Show de bola! E galera, basta P x 0 ≠ 0 pra que x 0 seja de fato um ponto ordinário! Como P x = 3 é uma função constante, então tá na mão, provadíssimo, que x 0 = 0 é um ponto ordinário. Nesse caso, a solução do problema será:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Antes de mais nada, vamos ver a condição de contorno, ok? Ela vai acabar nos ajudando a beça! Veja que, se fizermos x = 0 na EDO, achamos:

3 ∙ y ' ' 0 + 2 ∙ 0 ∙ y ' 0 + 4 - 0 2 ∙ y 0 = 0

3 ∙ y ' ' 0 + 4 ∙ y 0 = 0

Aproveitando que y 0 = - 2 , chegamos a:

3 ∙ y ' ' 0 + 4 ∙ - 2 = 0

3 ∙ y ' ' 0 - 8 = 0

y ' ' 0 = 8 3

Só que, como y x é uma série de potência, temos que, se:

y x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + …

Suas derivadas serão:

y ' x = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + 4 a 4 x 3 + …

y ' ' x = 2 a 2 + 6 a 3 x + 12 a 4 x 2 + …

Portanto temos ai na mão os três primeiros termos da série:

y 0 = a 0 = - 2 y ' 0 = a 1 = 3 y ' ' 0 = 2 a 2 = 8 3

Logo:

a 0 = - 2 a 1 = 3 a 2 = 4 3

Show! A questão pede na verdade os 7 primeiros termos, então falta achar a 3 , a 4 , e t c até termos 7 não nulos.

Passo 3

Show galera! Um bom começo é ver que se a solução tem aquela cara de série de potências e a EDO tem derivadas primeira e segunda, vamos precisar derivar o somatório! Vamos obter então:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2

E colocando todos eles dentro da EDO, temos:

3 y ' ' + 2 x y ' + 4 - x 2 y = 0

3 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + 2 x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + 4 - x 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Nos dois primeiros somatórios eu vou por o que ta multiplicando do lado de fora pra dentro, ok? No terceiro vou fazer isso também, mas vou primeiro aplicar a distributiva. Obteremos:

∑ n = 2 ∞ 3 n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ 2 n a n x n + 4 ∑ n = 0 ∞ a n x n - x 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

∑ n = 2 ∞ 3 n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ 2 n a n x n + ∑ n = 0 ∞ 4 a n x n - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 2 = 0

Beleeeeza, agora óia só. Tem somatório demais. Bora reduzir isso ai e colocar tudo num somatório só. Podemos deixar os três últimos com a mesma potência do primeiro, isto é, x n . Pro primeiro somatório, substituindo n → n + 2 , ficamos com:

∑ n = 2 ∞ 3 n n - 1 a n x n - 2 → ∑ n + 2 = 2 ∞ 3 n + 2 n + 2 - 1 a n + 2 x n + 2 - 2

∑ n = 2 ∞ 3 n n - 1 a n x n - 2 → ∑ n = 0 ∞ 3 n + 2 n + 1 a n + 2 x n

No quarto somatório, substituindo n → n - 2 , temos:

∑ n = 0 ∞ a n x n + 2 → ∑ n - 2 = 0 ∞ a n - 2 x n - 2 + 2

∑ n = 0 ∞ a n x n + 2 → ∑ n = 2 ∞ a n - 2 x n

Colocando os somatórios substituídos na EDO, achamos:

∑ n = 0 ∞ 3 n + 2 n + 1 a n + 2 x n + ∑ n = 1 ∞ 2 n a n x n + ∑ n = 0 ∞ 4 a n x n - ∑ n = 2 ∞ a n - 2 x n = 0

Show! Agora pra gente terminar de juntar os somatórios falta só colocarmos todos eles começando no mesmo n . Pra isso, abrimos o primeiro somatório para:

∑ n = 0 ∞ 3 n + 2 n + 1 a n + 2 x n = 6 a 2 + 18 a 3 x + ∑ n = 2 ∞ 3 n + 2 n + 1 a n + 2 x n

∑ n = 2 ∞ 3 n n - 1 a n x n - 2 = 6 ∙ 4 3 + 18 a 3 x + ∑ n = 2 ∞ 3 n + 2 n + 1 a n + 2 x n

∑ n = 2 ∞ 3 n n - 1 a n x n - 2 = 8 + 18 a 3 x + ∑ n = 2 ∞ 3 n + 2 n + 1 a n + 2 x n

Abrindo o segundo somatório:

∑ n = 1 ∞ 2 n a n x n = 2 a 2 x + ∑ n = 2 ∞ 2 n a n x n

∑ n = 1 ∞ 2 n a n x n = 8 x 3 + ∑ n = 2 ∞ 2 n a n x n

E abrindo o terceiro, temos:

∑ n = 0 ∞ 4 a n x n = 4 a 0 + 4 a 1 x + ∑ n = 2 ∞ 4 a n x n

∑ n = 0 ∞ 4 a n x n = - 8 + 12 x + ∑ n = 2 ∞ 4 a n x n

Juntando tudo, temos:

8 + 18 a 3 x + 8 x 3 - 8 + 12 x + ∑ n = 2 ∞ 3 n + 2 n + 1 a n + 2 x n + ∑ n = 2 ∞ 2 n a n x n + ∑ n = 2 ∞ 4 a n x n - ∑ n = 2 ∞ a n - 2 x n = 0

18 a 3 x + 8 x 3 + 12 x + ∑ n = 2 ∞ 3 n + 2 n + 1 a n + 2 + 2 n a n + 4 a n - a n - 2 x n = 0

O que gera o seguinte sisteminha:

18 a 3 x + 8 x 3 + 12 x = 0 3 n + 2 n + 1 a n + 2 + 2 n + 4 a n - a n - 2 = 0

Passo 4

Show galera, agora vamos trabalhar com aquele sisteminha. Veja que em:

18 a 3 x + 8 x 3 + 12 x = 0

18 a 3 + 8 3 + 12 ∙ x = 0

Resultado x = 0 é uma solução trivial! Desconsiderando essa, temos:

18 a 3 + 8 3 + 12 = 0

54 a 3 + 8 + 96 = 0

a 3 = - 104 54 = - 52 27

Pra segunda equação, podemos colocar em evidência o termo de a com maior subscrito:

3 n + 2 n + 1 a n + 2 + 2 n + 4 a n - a n - 2 = 0

3 n + 2 n + 1 a n + 2 = a n - 2 - 2 n + 4 a n = a n - 2 - 2 n + 2 a n

a n + 2 = a n - 2 - 2 n + 2 a n 3 n + 2 n + 1

Como o somatório começa em n = 2 , aqui também vai começar! Sendo assim, vamos ter, pra n = 2,3 , 4,5 , os seguintes resultados:

a 4 = a 0 - 2 ∙ 4 ∙ a 2 3 ∙ 4 ∙ 3

a 5 = a 1 - 2 ∙ 5 ∙ a 3 3 ∙ 5 ∙ 4

a 6 = a 2 - 2 ∙ 6 ∙ a 4 3 ∙ 6 ∙ 5

Substituindo a 4 , temos:

a 4 = - 2 - 2 ∙ 4 ∙ 4 3 3 ∙ 4 ∙ 3 = - 2 ∙ 3 + 2 ∙ 4 ∙ 4 3 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 3 = - 3 + 4 ∙ 4 3 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = - 19 54

Agora, para a 5 , vamos ficar com um cara grandão de resposta. Seja:

a 3 = - 52 27 = - 2 ∙ 2 ∙ 13 3 ∙ 3 ∙ 3

Teremos como a 5

a 5 = 3 - 2 ∙ 5 ∙ - 52 27 3 ∙ 5 ∙ 4 = 3 + 2 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 13 3 ∙ 3 ∙ 3 3 ∙ 5 ∙ 4 =

= 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 + 2 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 13 3 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 601 1620

E por fim, pra a 6 , já que:

a 4 = - 19 54 = - 19 3 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3

Teremos

a 6 = 4 3 - 2 ∙ 6 ∙ - 19 3 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 3 ∙ 6 ∙ 5 = 4 3 + 2 ∙ 19 3 ∙ 3 3 ∙ 6 ∙ 5

= 4 ∙ 3 + 2 ∙ 19 3 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 3 ∙ 3 = 50 3 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 3 ∙ 3

= 5 ∙ 2 ∙ 5 3 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 3 ∙ 3 = 5 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3

a 6 = 5 81

Resumin do, temos:

a 0 = - 2 a 1 = 3 a 2 = 4 3 a 3 = - 52 27 a 4 = - 19 54 a 5 = 601 1620 a 6 = 5 81    

Resposta

Passo 1 prova que x 0 = 0 é um ponto ordinário e os sete primeiros termos não nulos são:

a 0 = - 2 a 1 = 3 a 2 = 4 3 a 3 = - 52 27 a 4 = - 19 54 a 5 = 601 1620 a 6 = 5 81    

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