Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Solução de EDO em série – Ponto Ordinário

Considere a seguinte equação diferencial ordinária:

1 - x 2 y ' ' - 2 y = 0

  1. Seja
  2. y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

    Uma solução da EDO definida numa vizinhança do ponto x = 0 . Encontre a relação de recorrência satisfeita pelos coeficientes de a n

  3. Resolva o problema de valor inicial associado à equação com condições iniciais y 0 = 1 e y ' 0 = - 2

Passo 1

a)

Como o problema pede, vamos solucionar o problema definindo y ( x ) como uma série centrada em x 0 = 0 . Antes de tudo, precisamos verificar se o ponto x 0 é ordinário. Temos, nesse caso, P x = 1 - x 2 e P 0 = 1 ≠ 0 Logo, x 0 = 0 é ordinário, podemos usar o método aqui então.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos, então, definir:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Fazendo essas substituições na EDO, temos:

1 - x 2 ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

1 - 2 x + x 2 ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

1 ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - 2 x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + x 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 - 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Colocando os valores de x para dentro do somatório

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 1 + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passo 3

Precisamos, agora, igualar as potências de x por x n . Temos duas potências que não estão x n

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2

E

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 1

Temos:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

E

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 1 = ∑ n = 1 ∞ n + 1 n a n + 1 x n

Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice n (nesses casos, 2 e 1 ).

Temos, então:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n - 2 ∑ n = 1 ∞ n + 1 n a n + 1 x n + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passo 4

Agora devemos igualar os índices dos somatórios pelo maior (nesse caso n = 2 ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n = 2 a 2 + 6 a 3 x + ∑ n = 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

Como o somatório deve passar a começar em n = 2 , colocamos para fora os termos correspondentes a n = 0 e n = 1 . Vamos fazer o mesmo as outras séries:

∑ n = 1 ∞ n + 1 n a n + 1 x n = 2 a 2 x + ∑ n = 2 ∞ n + 1 n a n + 1 x n

∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + ∑ n = 2 ∞ a n x n

Temos, então:

2 a 2 + 6 a 3 x + ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n - 2 2 a 2 x + ∑ n = 2 ∞ n + 1 n a n + 1 x n + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 a 0 + a 1 x + ∑ n = 2 ∞ a n x n = 0

Passo 5

Vamos, então, juntar os somatórios colocando x n em evidência e agrupar os termos “soltos”.

2 a 2 + 6 a 3 x + ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n - 4 a 2 x - 2 ∑ n = 2 ∞ n + 1 n a n + 1 x n + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 a 0 - 2 a 1 x - 2 ∑ n = 2 ∞ a n x n = 0

2 a 2 - 2 a 0 + 6 a 3 - 4 a 2 - 2 a 1 x + ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n - 2 ∑ n = 2 ∞ n + 1 n a n + 1 x n + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 ∑ n = 2 ∞ a n x n = 0

2 a 2 - 2 a 0 + 6 a 3 - 4 a 2 - 2 a 1 x + ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 - 2 n + 1 n a n + 1 + n n - 1 a n - 2 a n x n = 0

2 a 2 - 2 a 0 + 6 a 3 - 4 a 2 - 2 a 1 x + ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 - 2 n + 1 n a n + 1 + ( n 2 - n - 2 ) a n x n = 0

Passo 6

Como x n ≠ 0 , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.

n + 2 n + 1 a n + 2 - 2 n + 1 n a n + 1 + n 2 - n - 2 a n = 0

Repara que

n 2 - n - 2 = n + 1 n - 2

Então

n + 2 n + 1 a n + 2 - 2 n + 1 n a n + 1 + n + 1 n - 2 a n = 0

Como n ≥ 0 podemos simplificar aquele n + 1

n + 2 a n + 2 - 2 n a n + 1 + n - 2 a n = 0

Assim vamos ter

a n + 2 = 2 n a n + 1 - n - 2 a n n + 2

Encontramos nossa relação de recorrência.

Passo 7

b)

Vamos usar as condições iniciais que ele deu para começar a achar esses coeficientes, ele deu que

y 0 = 1

Assim

y 0 = a 0 = 1

A outra condição foi

y ' 0 = - 2

y ' 0 = a 1 = - 2

Assim temos

a 0 = 1

a 1 = - 2

Vamos agora, calcular alguns a n ’s.

para   n = 0       →       a 2 = 2.0 . a 1 - 0 - 2 a 0 0 + 2       →       a 2 = a 0       →       a 2 = 1

para   n = 1       →       a 3 = 2.1 . a 2 - 1 - 2 a 1 1 + 2       →       a 3 = 2 a 2 + a 1 3       →       a 3 = 0

para   n = 2       →       a 4 = 2.2 . a 3 - 2 - 2 a 2 2 + 2       →       a 4 = 4 a 3 4       →       a 4 = 0

Daí em diante, todos os termos serão iguais a zero, pois a sua expressão depende dos dois anteriores que é zero. Portanto, a série é finita. E vamos ter

a 0 = 1

a 1 = - 2

a 2 = 1

Passo 8

Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o a n .

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2

Substituindo as expressões que encontramos para os a n ’s, termos

y x = 1 - 2 x + x 2

Resposta

a)

a n + 2 = 2 n a n + 1 - n - 2 a n n + 2

b)

y x = 1 - 2 x + x 2

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