Considere que busca encontrar a solução de uma equação no formato:

∂ 2 y x , y ∂ x 2 = c 2 ⋅ ∂ 2 y x , t ∂ t 2

Com c representando uma constante. Encontre uma solução geral real para a equação diferencial parcial. Essa equação é conhecida como equação de onda.

Passo 1

Fala aí gente, tudo certinho?

Nessa questão recebemos a seguinte equação diferencial parcial:

∂ 2 y x , y ∂ x 2 = c 2 ⋅ ∂ 2 y x , t ∂ t 2

E, precisamos encontrar uma solução geral real para essa EDP. Basicamente, vamos encontrar a solução formal. Para encontrar a solução específica de um futuro problema, o enunciado também teria que nos informar as condições de fronteira e as condições iniciais do problema.

A estratégia pra resolver a EDP dada consiste em usar o método de separação das variáveis.

Ou seja, vamos fazer:

y x , y = f x g ( t )

A partir disso, substituímos na EDP dada e desenvolvemos.

Vem comigo que vai ficar bem clarinho 😊

Passo 2

Bom, vamos usar a separação de variáveis. Ou seja:

y x , y = f x g ( t )

Logo:

∂ 2 y x , y ∂ x 2 = f ' ' x ⋅ g ( t )

E:

∂ 2 y x , t ∂ t 2 = f x ⋅ g ' ' ( t )

Daí, podemos reescrever nossa EDP como:

f ' ' x ⋅ g t = c 2 f x g ' ' t

∴ f ' ' x f x = c 2 g ' ' t g t

A única forma dessas razões serem iguais para qualquer x e qualquer t , é se elas assumirem um valor constante, que chamaremos de λ .

Daí:

f ' ' x f x = c 2 g ' ' t g t = λ

A partir disso, extraímos daí duas EDO’s:

f ' ' x - λ f x = 0

g ' ' t - λ c 2 ⋅ g t = 0

Perfeito!

Passo 3

Vamos começar resolvendo a primeira EDO:

f ' ' x - λ f x = 0

Temos a seguinte equação característica:

r 2 - λ = 0

Daí precisamos analisar os possíveis valores de λ . Para fazer isso precisamos considerar que, por tratar-se da equação de onda, temos que nas extremidades ( x = 0 e x = L ), a corda está fixada.

Assim:

f 0 = f L = 0

Beleza, embora o enunciado não tenha dado essa informação, ela é fundamental pra encontrarmos uma solução geral real.

- Se λ > 0 , então:

r = ± λ

f x = c 1 e - λ x + c 2 e λ x

Testando as condições iniciais:

f 0 = c 1 + c 2 = 0

f L = c 1 ⋅ e - λ ⋅ L - c 1 e λ ⋅ L = 0

Logo:

c 1 = c 2 = 0

Ou seja, nos deu a solução trivial, que não estamos interessados...

- Se λ = 0 , então:

r = 0

∴ f x = c 1 + c 2 x

Colocando as condições iniciais:

f 0 = c 1 = 0

E:

f L = L c 2 = 0

∴ c 1 = c 2 = 0

Ou seja, também tempos apenas a solução trivial...

- Se λ < 0 , então:

f x = c 1 cos ⁡ - λ x + c 2 s e n - λ x

Pela condição inicial:

f 0 = c 1 = 0

Logo:

f L = c 2 s e n L - λ = 0

Como não queremos a solução trivial, devemos ter:

s e n L - λ = 0

∴ L - λ = n π

⇒ λ = - n 2 π 2 L 2

Daí, desconsiderando a constante c 2   ( c 2 = 1 ) , temos que as autofunções são:

f n x = s e n n π x L ,     n = 1,2 , 3 , …

Perfeito!

Passo 4

Agora podemos voltar à nossa outra equação diferencial ordinária:

g ' ' t - λ c 2 ⋅ g t = 0

Caímos na seguinte equação característica:

r 2 - λ c 2 = 0

Lembrando que como λ < 0 , temos:

λ c 2 < 0

Daí, a solução de r na equação característica:

∴ r = 0 ± i - λ c 2

Portanto, usando que:

- λ = n π L

Vem:

g n t = a n cos ⁡ n π L c t + b n s e n n π L c t

Essa é a solução geral da EDO. Daí, voltando para a nossa função principal, e usando as soluções gerais encontradas, vem que:

u x , t = f n x ⋅ g n t

∴ u x , t = s e n n π x L ⋅ a n cos ⁡ n π L c t + b n s e n n π L c t  

Essa é uma das soluções, mas como qualquer solução pode ser descrita pela combinação linear das possíveis soluções, temos que:

u x , t =   ∑ n = 1 ∞ s e n n π x L ⋅ a n cos ⁡ n π L c t + b n s e n n π L c t

(onde L é o comprimento da onda/corda).

Prontinho galera!! Encontramos a solução geral real da EDP dada no enunciado!

E aí, curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

u x , t =   ∑ n = 1 ∞ s e n n π x L ⋅ a n cos ⁡ n π L c t + b n s e n n π L c t

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