Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G2 - 2018.2, Questão 4

Buscaremos uma solução em série no formato

y x = n = 0 a n x n

para a equação diferencial

x 2 - 1 y ' ' - x y ' - 3 y = - 8 - 6 x - 3 x 2

  1. Encontre a solução do problema de valor inicial com as condições iniciais y 0 = 2 e y ' 0 = 0 .
  2. Determine o raio de convergência da solução do item anterior.

Passo 1

  1. Como o problema pediu uma solução na forma
  2. y x = n = 0 a n x n = n = 0 a n x - 0 n .

    Então temos uma solução centrada em x = 0 . Para começar a resolver, precisamos saber se este é um ponto ordinário. Temos que o coeficiente que multiplica a segunda derivada é: x 2 - 1

    No ponto x = 0 ,

    0 - 1 = - 1 0

    Passo 2

    Então esse é mesmo um ponto ordinário e podemos aplicar o método de resolução. Legal, então vamos substituir na equação. Para isso, derivamos:

    y ' x = n = 1 n a n x n - 1  

    y ' ' x = n = 2 n n - 1 a n x n - 2

    Passo 3

    Lembre-se que o índice do somatório avança com a ordem da derivada! Sabendo disso, vamos substituir na EDO:

    x 2 - 1 y ' ' - x y ' - 3 y = - 8 - 6 x - 3 x 2

    x 2 - 1 n = 2 n n - 1 a n x n - 2 - x n = 1 n a n x n - 1 - 3 n = 0 a n x n = - 8 - 6 x - 3 x 2

    Então, temos que distribuir e jogar o x para dentro do somatório. Vamos somatório por somatório para não confundir.

    x 2 - 1 n = 2 n n - 1 a n x n - 2 = n = 2 n n - 1 a n x 2 x n - n = 2 n n - 1 a n 1 x n - 2

    = n = 2 n n - 1 a n x n - n = 2 n n - 1 a n x n - 2

    - x n = 1 n a n x n - 1 = - n = 1 n a n x n

    Ou seja, nossa equação vai ficar:

    n = 2 n n - 1 a n x n - n = 2 n n - 1 a n x n - 2 - n = 1 n a n x n - 3 n = 0 a n x n = - 8 - 6 x - 3 x 2

    Passo 4

    Então, precisamos mudar o índice de cada somatório de modo a deixar tudo com o mesmo grau em x , no caso, x k .

    n = 2 n n - 1 a n x n k n k = 2 k k - 1 a k x k

    n = 2 n n - 1 a n x n - 2 k n - 2 k = 0 k + 2 k + 1 a k + 2 x k

    n = 1 n a n x n k n k = 1 k a k x k

    n = 0 a n x n k n k = 0 a k x k

    Tudo certo seu esperto, agora vamos colocar isso na equação:

    k = 2 k k - 1 a k x k - k = 0 k + 2 k + 1 a k + 2 x k - k = 1 k a k x k - 3 k = 0 a k x k

    = - 8 - 6 x - 3 x 2

    Passo 5

    Show, em seguida vamos deixar todos os somatórios com o mesmo índice tirando termos do somatório, no caso, o maior, k = 2 :

    k = 2 k k - 1 a k x k T U D O   O K

    - k = 0 k + 2 k + 1 a k + 2 x k = - k = 2 k + 2 k + 1 a k + 2 x k - 2 a 2 - 6 a 3 x

    - k = 1 k a k x k = - k = 2 k a k x k - a 1 x

    - 3 k = 0 a k x k = - 3 k = 2 a k x k - 3 a 0 - 3 a 1 x

    Agora substituímos isso tudo:

    k = 2 k k - 1 a k x k + - k = 2 k + 2 k + 1 a k + 2 x k - 2 a 2 - 6 a 3 x

    + - k = 2 k a k x k - a 1 x + - 3 k = 2 a k x k - 3 a 0 - 3 a 1 x

    = - 8 - 6 x - 3 x 2

    Podemos juntar os somatórios agora e deixar os termos de mesmo grau em evidência:

    k = 2 k k - 1 a k - k + 2 k + 1 a k + 2 - k a k - 3 a k x k +

    + 3 x 2 + - 6 a 3 - a 1 - 3 a 1 + 6 x + - 2 a 2 - 3 a 0 + 8 = 0

    Quase lá, para precisamos colocar algum termo junto daquele 3 x 2 para encontrarmos todas as relações de recorrência.

    Passo 6

    Para fazer um termo multiplicado ao quadrado aparecer, vamos tirar k = 2 do somatório: k = 2 k k - 1 a k - k + 2 k + 1 a k + 2 - k a k - 3 a k x k =

    k = 3 k k - 1 a k - k + 2 k + 1 a k + 2 - k a k - 3 a k x k + 2 a 2 - 12 a 4 - 2 a 2 - 3 a 2 x 2

    = k = 3 k k - 1 a k - k + 2 k + 1 a k + 2 - k a k - 3 a k x k + - 12 a 4 - 3 a 2 x 2

    Legal, agora colocamos na equação:

    k = 3 k k - 1 a k - k + 2 k + 1 a k + 2 - k a k - 3 a k x k

    + - 12 a 4 - 3 a 2 + 3 x 2 + - 6 a 3 - 4 a 1 + 6 x + - 2 a 2 - 3 a 0 + 8 = 0

    Simplificando o somatório:

    k = 3 k 2 - 2 k - 3 a k - k + 2 k + 1 a k + 2 x k

    + - 12 a 4 - 3 a 2 + 3 x 2 + - 6 a 3 - 4 a 1 + 6 x + - 2 a 2 - 3 a 0 + 8 = 0

    Passo 7

    Então, vamos igualar cada termo a zero para encontrar a relação de recorrência:

    k 2 - 2 k - 3 a k - k + 2 k + 1 a k + 2 = 0

    a k + 2 = - k 2 - 2 k - 3 k + 2 k + 1 a k = k + 1 k - 3 k + 2 k + 1 a k = k - 3 k + 2 a k

    Para todo k = 3,4 , 5

    Próximos:

    - 12 a 4 - 3 a 2 + 3 = 0 4 a 4 + a 2 = 1

    - 6 a 3 - 4 a 1 + 6 = 0 3 a 3 + 2 a 1 = 3

    - 2 a 2 - 3 a 0 + 8 = 0 + 2 a 2 + 3 a 0 = 8

    Passo 8

    Encontradas a relação de recorrência, aplicamos as condições iniciais do problema. Primeiramente, temos: y 0 = 2

    y x = n = 0 a n x n y 2 = a 0 + a 1 0 + a 2 0 + = a 0 = 2

    Assim, vamos ter, da última relação:

    + 2 a 2 + 3 a 0 = 8

    + 2 a 2 + 3 2 = 8

    a 2 = 1

    Da penúltima: 4 a 4 + a 2 = 1

    a 4 = 0

    Agora aplicamos a outra condição:

    y ' 0 = 0

    y ' x = n = 1 n a n x n - 1 y ' 0 = 1 a 1 + 2 a 2 0 + 3 a 3 0 = a 1 = 0

    Então vamos ter:

    3 a 3 + 2 a 1 = 3

    a 3 = 1

    Agora usando a relação:

    a k + 2 = k - 3 k + 2 a k

    a 5 = 3 - 3 3 + 2 a 3 = 0

    a 6 = 4 - 3 4 + 2 a 4 = 0

    a 7 = 5 - 3 5 + 2 a 5 = 0

    Assim, vamos ter que: a 0 = 2

    a 1 = 0

    a 2 = 1

    a 3 = 1

    a k = 0 ,     k 4

    Então, nossa solução vai ser:

    y x = n = 0 a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n

    y x = 2 + x 2 + x 3

    Passo 9

  3. Agora precisamos terminar o raio de convergência da solução:

y x = 2 + x 2 + x 3

Bem, não temos aqui exatamente uma série como estamos acostumados e sim um polinômio de terceiro grau regular. Portanto, a solução irá convergir para todo R . 😊

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Resposta

  1. y x = 2 + x 2 + x 3
  2. Todo R .

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