Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

Unicamp, Cálculo 3, 2019.2, P2, Questão 2.

Considere a equação diferencial

x 2 - 1 y ' ' + 8 x y ' + 12 y = 0

Como x = 0 é um ponto ordinário para a equação, encontre a solução em séries de potências ∑ k = 0 ∞ c k x k dado que y 0 = 2 e y ' 0 = 3 . (Obs. Determine a fórmula para o coeficiente geral da solução da equação.)

Passo 1

Então pessoal, antes de mais nada, vamos dar uma olhada na forma geral da nossa solução:

y x = ∑ k = 0 ∞ c k x k

E vamos calcular as derivadas desse y x . Derivando pela primeira vez:

y ' x = ∑ k = 0 ∞ c k k x k - 1

E derivando mais uma vez:

y ' ' x = ∑ k = 0 ∞ c k k k - 1 x k - 2

Beleza, agora vamos substituir isso na e.d.o.:

x 2 - 1 y ' ' + 8 x y ' + 12 y = 0

x 2 - 1 ∑ k = 0 ∞ c k k k - 1 x k - 2 + 8 x ∑ k = 0 ∞ c k k x k - 1 + 12 ∑ k = 0 ∞ c k x k = 0

Ok, agora vamos juntar todas as potências de base x . Mas só pra não ficar confuso, vamos mostrar como fica cada termo:

x 2 - 1 ∑ k = 0 ∞ c k k k - 1 x k - 2 = ∑ k = 0 ∞ c k k k - 1 x k - ∑ k = 0 ∞ c k k k - 1 x k - 2

8 x ∑ k = 0 ∞ c k k x k - 1 = 8 ∑ k = 0 ∞ c k k x k

E o último termo fica do jeito que está mesmo. No final das contas, nossa equação é:

∑ k = 0 ∞ c k k k - 1 x k - ∑ k = 0 ∞ c k k k - 1 x k - 2 + 8 ∑ k = 0 ∞ c k k x k + 12 ∑ k = 0 ∞ c k x k = 0

Ok, agora dá pra agrupar todos esses termos que estão multiplicando x k :

∑ k = 0 ∞ c k k k - 1 + 8 c k k + 12 c k x k - ∑ k = 0 ∞ c k k k - 1 x k - 2 = 0

Jogando aquela segunda série para o outro lado:

∑ k = 0 ∞ c k k k - 1 + 8 c k k + 12 c k x k = ∑ k = 0 ∞ c k k k - 1 x k - 2

E colocando c k em evidência do lado esquerdo:

c k k k - 1 + 8 c k k + 12 c k x k = c k k k - 1 + 8 k + 12 x k

Simplificando um pouco:

c k k 2 - k + 8 k + 12 x k = c k k 2 + 7 k + 12 x k

Ok, já simplificamos bastante o problema:

∑ k = 0 ∞ c k k 2 + 7 k + 12 x k = ∑ k = 0 ∞ c k k k - 1 x k - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos mexer um pouco na série da direita:

∑ k = 0 ∞ c k k k - 1 x k - 2

A ideia é escrever de forma que ela dependa de x k . Vamos ver o que acontece com os dois primeiros termos da série:

k = 0         ⇒           c 0 0 0 - 1 x 0 - 2 = 0

k = 1         ⇒           c 1 1 1 - 1 x 1 - 2 = 0

Ou seja, os dois primeiros termos se anulam! Entao vamos escrever a série só a partir do índice k = 2 :

∑ k = 0 ∞ c k k k - 1 x k - 2 = ∑ k = 2 ∞ c k k k - 1 x k - 2

Outra forma de escrever isso é trocando k → k + 2 :

∑ k = 2 ∞ c k k k - 1 x k - 2 = ∑ k = 0 ∞ c k + 2 k + 2 k + 2 - 1 x k + 2 - 2

∑ k = 2 ∞ c k k k - 1 x k - 2 = ∑ k = 0 ∞ c k + 2 k + 2 k + 1 x k

Beleza, ficamos com x k na série de potências, o que vai facilitar bastante a nossa vida.

Agora sim, colocando isso de volta na equação, a gente fica com:

∑ k = 0 ∞ c k k 2 + 7 k + 12 x k = ∑ k = 0 ∞ c k + 2 k + 2 k + 1 x k

Passo 3

Então tá, até aqui a gente só estava arrumando a equação, agora vamos começar a resolver. A ideia aqui é a seguinte: nós vamos igualar os termos de potências iguais.

∑ k = 0 ∞ c k k 2 + 7 k + 12 x k = ∑ k = 0 ∞ c k + 2 k + 2 k + 1 x k

Como as duas séries já estão multiplicando x k desde k = 0 , podemos igualar os dois coeficientes:

c k k 2 + 7 k + 12 = c k + 2 k + 2 k + 1

Isolando c k + 2 :

c k + 2 = k 2 + 7 k + 12 k + 2 k + 1 c k

E dá pra reescrever esse termo do numerador:

k 2 + 7 k + 12 = k + 3 k + 4

Você pode fazer isso só usando o método de “soma e produto”:

k 2 + 7 k + 12 = x + a x + b         ⇒           a + b = 7         e           a b = 12

Ou então calculando as raízes do polinômio usando Bháskara. De qualquer forma, nossa fórmula de recorrência é:

c k + 2 = k + 4 k + 3 k + 2 k + 1 c k

Passo 4

Beleza, vamos voltar lá na nossa definição para a solução y x :

y x = ∑ k = 0 ∞ c k x k

A primeira condição inicial é y 0 = 2 . Substituindo x = 0 em y x , só vai sobrar a constante c 0 :

y 0 = c 0 = 2

E o que acontece com y ' x ? É só derivar aquela série de cima:

y ' x = d d x c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + … = c 1 + 2 c 2 x + …

A segunda condição inicial é y ' 0 = 3 , substituindo isso na y ' x :

y ' 0 = c 1 = 3

Passo 5

Agora, para tentar escrever um termo geral, vamos voltar na nossa fórmula de recorrência:

c k + 2 = k + 4 k + 3 k + 2 k + 1 c k

Começando com os termos pares, a gente já viu que c 0 = 2 , então vamos calcular c 2 , que é o caso k = 0 :

c 2 = 0 + 3 0 + 4 0 + 2 0 + 1 c 0 = 12 2 2 = 12

E c 4 , que é o caso k = 2 :

c 4 = 2 + 3 2 + 4 2 + 2 2 + 1 c 2 = 30 12   12 2 2 = 30

Em todos esses casos, a partir do c 0 = 2 , o que acontece é que os fatores vão se cancelando, até só ficar o numerador k + 4 k + 3 :

c k + 2 = k + 4 k + 3

Outra forma de escrever isso é trocando k → k - 2 :

c k = k - 2 + 4 k - 2 + 3 = k + 2 k + 1

Ou seja, para os termos de ordem par ( k = 2 ,   4 ,   6 ,   8   ) a série fica:

y 1 x = c 0 x 0 + c 2 x 2 + c 4 x 4 + …

Usando a nossa fórmula c k = k + 2 k + 1 :

y 1 x = 0 + 2 0 + 1 x 0 + 2 + 2 2 + 1 x 2 + 4 + 2 4 + 1 x 4 + …

Então a primeira parte da solução, em forma de somatório incluindo só os valores pares (do tipo 2 n ) é:

c k = k + 2 k + 1

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ 2 n + 2 2 n + 1 x 2 n

Passo 6

Agora vamos procurar a solução com os termos ímpares. A gente já viu que c 1 é:

c 1 = 3

Então pela fórmula de recorrência:

c k + 2 = k + 4 k + 3 k + 2 k + 1 c k

k = 1         ⇒         c 1 + 2 = 1 + 4 1 + 3 1 + 2 1 + 1 c 1         ⇒           c 3 = 20 6 3 = 20 2

k = 3         ⇒         c 3 + 2 = 3 + 4 3 + 3 3 + 2 3 + 1 c 3         ⇒           c 5 = 42 20 20 2 = 42 2

E assim por diante. Dessa vez dá pra ver que, no final de cada passo, sobra o numerador dividido por 2 , ou seja:

c k + 2 = 1 2 k + 4 k + 3

Trocando k → k - 2 :

c k = 1 2 k - 2 + 4 k - 2 + 3

c k = 1 2 k + 2 k + 1

Então a solução de termos de ordem ímpar tem essa forma aqui:

y 1 x = c 1 x + c 3 x 3 + c 5 x 5 + …

Usando a nossa fórmula:

y 2 x = 1 2 1 + 2 1 + 1 x 1 + 1 2 3 + 2 3 + 1 x 3 + 1 2 5 + 2 5 + 1 x 5 + …

Ou, em forma de série incluindo só valores ímpares (do tipo 2 n + 1 ):

c k = 1 2 k + 2 k + 1

y 2 x = ∑ k = 0 ∞ 1 2 2 n + 1 + 2 2 n + 1 + 1 x 2 n + 1

y 2 x = ∑ k = 0 ∞ 1 2 2 n + 3 2 n + 2 x 2 n + 1

Passo 7

Então nossa solução final vai ser simplesmente a soma dessas duas:

y x = y 1 x + y 2 x

y x = ∑ n = 0 ∞ 2 n + 2 2 n + 1 x 2 n + ∑ k = 0 ∞ 1 2 2 n + 3 2 n + 2 x 2 n + 1

Pronto!

Resposta

y x = ∑ n = 0 ∞ 2 n + 2 2 n + 1 x 2 n + ∑ k = 0 ∞ 1 2 2 n + 3 2 n + 2 x 2 n + 1

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