Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G3 - 2013.1, Questão 5

  1. Considere a equação diferencial y ' ' - x y ' - y = 0 . Ache a expressão geral de uma solução em forma de série de potências:
  2. y x = n = 0 a n x n

    Supondo que a 1 = 0 .

  3. Considere a equação diferencial y ' ' - x y ' - y = 1 . Ache a solução em forma de série de potências:

y x = n = 0 a n x n

Supondo que a 0 = a 1 = 0 .

Passo 1

Como o problema pede, vamos solucionar o problema definindo y ( x ) como uma série centrada em x 0 = 0 . Antes de tudo, precisamos verificar se o ponto x 0 é ordinário. Temos, nesse caso, P x = 1 0 . Logo, qualquer ponto que escolhermos, inclusive x 0 = 0 é ordinário. Podemos usar o método aqui então.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos, então, definir:

y x = n = 0 a n x n

y ' x = n = 1 n a n x n - 1

y ' ' x = n = 2 n ( n - 1 ) a n x n - 2

Fazendo essas substituições na EDO , temos:

n = 2 n ( n - 1 ) a n x n - 2 - x n = 1 n a n x n - 1 - n = 0 a n x n = 0

n = 2 n ( n - 1 ) a n x n - 2 - n = 1 n a n x n - n = 0 a n x n = 0

Passo 3

Precisamos, agora, Igualar as potências de x por x n . Temos:

n = 2 n ( n - 1 ) a n x n - 2 = n = 0 ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice n (nesse caso, 2 ).

Temos, então:

n = 0 ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n - n = 1 n a n x n - n = 0 a n x n = 0

Passo 4

Agora devemos igualar os índices dos somatórios pelo maior (nesse caso n = 1 ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.

n = 0 ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n = ( 0 + 2 ) ( 0 + 1 ) a 0 + 2 x 0 + n = 1 ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

= 2 a 2 + n = 1 ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

Como o somatório deve passar a começar em n = 1 , colocamos para fora o termo correspondente a n = 0 . Vamos fazer o mesmo para a 3ª série:

n = 0 a n x n = a 0 + n = 1 a n x n

Temos, então:

2 a 2 + n = 1 ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n - n = 1 n a n x n - a 0 + n = 1 a n x n = 0

Passo 5

Vamos, então, juntar os somatórios colocando x n em evidência e agrupar os termos “soltos”.

2 a 2 + n = 1 ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n - n = 1 n a n x n - a 0 - n = 1 a n x n = 0

( 2 a 2 - a 0 ) + n = 1 n + 2 n + 1 a n + 2 - n a n - a n x n = 0

( 2 a 2 - a 0 ) + n = 1 n + 2 n + 1 a n + 2 - n + 1 a n x n = 0

( 2 a 2 - a 0 ) + n = 1 ( n + 1 ) n + 2 a n + 2 - a n x n = 0

Passo 6

Como x n 0 , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.

( n + 1 ) n + 2 a n + 2 - a n = 0

Como n - 1 , temos:

n + 2 a n + 2 - a n = 0

O termo “solto”, fora do somatório também deve ser zero.

2 a 2 - a 0 = 0             a 2 = a 0 2

Encontramos nossa relação de recorrência.

Passo 7

Vamos agora, calcular alguns a n ’s.

Dica: nós podemos saber que a relação entre os termos é feita de 2 em 2 por que a relação de recorrência associa termos a n a a n + 2 , portanto, com “ 2 n ’s de distância”.

Para os índices pares, temos:

para   n = 0             0 + 2 a 0 + 2   - a 0 = 0             a 2 = a 0 2

para   n = 2             2 + 2 a 2 + 2   - a 2 = 0             a 4 = a 2 4 = a 0 4 2

para   n = 4             4 + 2 a 4 + 2   - a 4 = 0             a 6 = a 4 6 = a 0 6 4 2

Assim, se n = 2 p , podemos escrever:

a n = a 2 p = a 0 2 p 2 p - 2 2 p - 4 2 =

Temos apenas os números pares de um fatorial 2 p ! , não é? Veja que podemos reescrever assim:

a 2 p = a 0 2 p 2 p - 1 2 p - 2 2 1 = a 0 2 2 2 2 p p p - 1 p - 2 1 p ! = a 0 2 p p !

Passo 8

Para os índices ímpares, agora, temos:

para   n = 1             1 + 2 a 1 + 2   - a 1 = 0             a 3 = a 1 3

para   n = 3             3 + 2 a 3 + 2   - a 3 = 0             a 5 = a 3 5 = a 1 5 3

Assim,se n = 2 p + 1 , podemos escrever:

a n = a 2 p + 1 = a 1 2 p + 1 2 p - 1 2 p - 3 3

Mas como o enunciado nos diz que a 1 = 0 , todos os coeficientes ímpares vão ser 0!

Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o a n .

y x = n = 0 a n x n = p = 0 a 2 p x 2 p =

= p = 0 a 0 2 p p ! x 2 p =

Passo 9

Resolvendo a letra b)

Aproveitando os cálculos feitos no item anterior, temos que:

Por conta de só a primeira e a terceira séries terem termos de grau zero, a soma dessas séries agora tem de ser igual 1. E portanto:

a k + 2 k + 2 k + 1 - a k = 1

E então:

2 a 2 - a 0 = 1

a 2 = 1 + a 0 2

Como pelo enunciado, a 0 = 0 , então a 2 = 1 2 .

Passo 10

Agora o restante dos termos satisfazema mesma relação encontrada no item anterior:

a k + 2 = a k k + 2 ,     p a r a   t o d o   k 1

E então:

y x = n = 0 a n x n

Tal que:

a n = 0 ,     s e   n   é   í m p a r a 2 m = 1 2 m m ! ,     s e   n = 2 m   é   p a r

Resposta

a )   y x = n = 0 a n x n ,     p a r a   a n = 0 ,     s e   n   é   í m p a r a 2 m = a 0 2 p p ! ,     s e   n = 2 p   é   p a r

b )   y x = n = 0 a n x n ,     p a r a   a n = 0 ,     s e   n   é   í m p a r a 2 m = 1 2 m m ! ,     s e   n = 2 m   é   p a r

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