Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G3 - 2013.2, Questão 5

Considere a equação diferencial y ' ' - 2 x 2 y ' - 4 x y = 0 e:

y x = n = 0 a n x n

  1. Mostre que, para qualquer solução em série de potências, a 2 = 0 .
  2. Mostre que a 3 = 2 3 a 0 e que a 4 = 1 2 a 1 .
  3. Achar os 10 primeiros termos da solução com condição inicial a 0 = 1 , a 1 = 0 .
  4. Determine a expressão geral da solução encontrada no item c).

Passo 1

Resolvendo a letra a)

A ideia aqui é pegar y x e substituir na equação diferencial! Então, precisaremos calcular suas derivadas de primeira e segunda ordem. Veja só:

y x = n = 0 a n x n

y ' x = n = 0 a n n x n - 1

y ' ' x = n = 0 a n n n - 1 x n - 2

E substituindo na equação:

n = 0 a n n n - 1 x n - 2 - 2 x 2 n = 0 a n n x n - 1 - 4 x n = 0 a n x n = 0

E então desenvolvendo a multiplicação pelos termos:

n = 0 a n n n - 1 x n - 2 - 2 n = 0 a n n x n + 1 - 4 n = 0 a n x n + 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora mudando as variáveis:

Na primeira série: k = n - 2 n = k + 2

Na segunda e na terceira séries: k = n - 1 n = k + 1

E reescrevendo:

k = 0 a k + 2 k + 2 k + 1 x k - 2 k = 2 a k - 1 k - 1 x k - 4 k = 1 a k - 1 x k = 0

Passo 3

Analisando agora a primeira série que é a única com termos de grau zero, verificamos que com k = 0 :

a 2 2 1 x 0 = 0 a 2 = 0

Como queríamos demonstrar!

Passo 4

Resolvendo a letra b)

Pensando analogamente ao item anterior, a primeira e a terceira séries são as únicas com termos de grau um! E portanto, pra k = 1 :

a 3 3 2 x - 4 a 0 x = 0

6 a 3 = 4 a 0

a 3 = 2 3 a 0

Como queríamos demonstrar!

Pensando analogamente ao item anterior, todas as séries tem termos de grau dois! E portanto, pra k = 2 :

a 4 4 3 x 2 - 2 a 1 x 2 - 4 a 1 x 2 = 0

12 a 4 = 6 a 1

a 4 = 1 2 a 1

Como queríamos demonstrar!

Passo 5

Resolvendo a letra c)

Pela expressão que temos em termos das séries:

k = 0 a k + 2 k + 2 k + 1 x k - 2 k = 2 a k - 1 k - 1 x k - 4 k = 1 a k - 1 x k = 0

Verificamos, manipulando a equação, que pra k 2 , temos:

a k + 2 k + 2 k + 1 - 2 a k - 1 k - 1 - 4 a k - 1 = 0

E isolando a k + 2 :

a k + 2 = 2 a k - 1 k - 1 + 2 k + 2 k + 1 = 2 a k - 1 k + 2

Pelo enunciado: a 0 = 1 e a 1 = 0 . Já verificamos que a 2 = 0 .

E os outros termos serão encontrado pela relação acima encontrada:

a 3 = 2 3 a 0 = 2 3

a 4 = 0

a 5 = 0

a 6 = 2 6 a 3 = 2 9

a 7 = 0

a 8 = 0

a 9 = 2 9 a 6 = 4 81

Passo 6

Como visto no item anterior, os termos não-nulos da expansão são aquele que têm índice múltiplo de 3. Ou seja, índices da forma 3 m . Então, transformando de k pra m , temos:

a k + 2 = 2 a k - 1 k + 2

a 3 m = 2 a 3 m - 2 - 1 3 m = 2 a 3 m - 1 3 m

Logo, o termo geral será:

a 3 m = 2 m 3 m m !

E com a 0 = 1 e a 1 = 0 :

y x = m = 0 a 3 m x 3 m = m = 0 2 m 3 m m ! x 3 m

Resposta

Letra c)

a 0 = 1

a 1 = 0

a 2 = 0

a 3 = 2 3 a 0 = 2 3

a 4 = 0

a 5 = 0

a 6 = 2 6 a 3 = 2 9

a 7 = 0

a 8 = 0

a 9 = 2 9 a 6 = 4 81

Letra d)

y x = m = 0 2 m 3 m m ! x 3 m

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