Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G3 - 2012.2, Questão 4

Considere o problema de valor inicial abaixo:

y ' ' x + x y ' x + y x = 0 ,     y 0 = 1 ,     y ' 0 = 0

Considere ainda a expansão em série de potências da solução:

y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n +

Determine y x .

Passo 1

Vamos primeiro escrever a solução em forma de série de potências:

y x = n = 0 a n x n

E agora vamos calcular suas derivadas y ' x e y ' ' x , pra substituir na equação!

y ' x = n = 0 a n n x n - 1

y ' ' x = n = 0 a n n n - 1 x n - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E substituindo na equação:

n = 0 a n n n - 1 x n - 2 + x n = 0 a n n x n - 1 + n = 0 a n x n = 0

n = 0 a n n n - 1 x n - 2 + n = 1 a n n x n + n = 0 a n x n = 0

Agora substituindo k = n - 2 na primeira série e k = n nas outras, teremos:

k = 0 a k + 2 k + 2 k + 1 x k + k = 1 a k k x k + k = 0 a k x k = 0

k = 1 a k k x k   + a 0 ( 0 ) x 0 = k = 0 a k k x k

k = 0 a k + 2 k + 2 k + 1 x k + k = 0 a k k x k + k = 0 a k x k = 0

E somando os coeficientes do termo x k , vamos ter:

a k + 2 k + 2 k + 1 + a k k + a k = 0

O que nos dá a relação:

a k + 2 = - a k k + 2 ,     p a r a   t o d o   k 1

E com isso, concluímos que todos os termos de grau par, são múltiplo de a 0 . E todos os termos de grau ímpar são múltiplos de a 1 .

Passo 3

Teremos, portanto:

a 2 n = - 1 n 2 n n ! a 0 ,     p a r a   v a l o r e s   p a r e s   d e   n

a 2 n + 1 = - 1 n 2 n n ! 2 n + 1 ! a 1 ,     p a r a   v a l o r e s   í m p a r e s   d e   n

Como foi dado no enunciado y 0 = a 0 = 1 ,   y ' 0 = a 1 = 0 , verificamos que todos os termos de grau ímpar são nulos! Entãom, chegamos numa expressão pra y x :

y x = n = 0 - 1 n 2 n n ! x 2 n

Resposta

y x = n = 0 - 1 n 2 n n ! x 2 n

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas