Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G3 - 2012.2, Questão 5

Considere o problema de valor inicial abaixo:

y ' ' x + x y ' x + y x = x 2 + x ,     y 0 = 1 ,     y ' 0 = 0

Considere ainda a expansão em série de potências da solução:

y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n +

Determine y x .

Passo 1

A equação tem agora um termo não-homegêneo x 2 + x . E isso altera a fórmula de recorrência em relação a se não houvesse parte não-homogênea. O termo de grau zero da equação continua sendo o mesmo.

Vamos primeiro escrever a solução em forma de série de potências:

y x = n = 0 a n x n

E agora vamos calcular suas derivadas y ' x e y ' ' x , pra substituir na equação!

y ' x = n = 0 a n n x n - 1

y ' ' x = n = 0 a n n n - 1 x n - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E substituindo na equação:

n = 0 a n n n - 1 x n - 2 + x n = 0 a n n x n - 1 + n = 0 a n x n = 0

n = 0 a n n n - 1 x n - 2 + n = 1 a n n x n + n = 0 a n x n = 0

Agora substituindo k = n - 2 na primeira série e k = n nas outras, teremos:

k = 2 a k + 2 k + 2 k + 1 x k + k = 1 a k k x k + k = 0 a k x k = 0

O termo de grau zero nos dará:

2 a 2 + a 0 = 0

E o termo de grau 1 nos dará:

3.2 a 3 + a 1 = 1

E como a 1 = y ' 0 = 0 , então: a 3 = 1 6 .

O termo de grau 2 nos dará:

4.3 a 4 + 3 a 2 = 1

E como a 2 = - a 0 2 , teremos:

a 4 = - 1 24

Passo 3

A partir do grau 3, a fórmula de recorrência é a mesma do caso sem parte não-homogênea.

a k + 2 = - a k k + 2

Teremos, portanto:

a 2 n = - 1 n 2 n n ! + - 1 n - 2 2 3.2 n n ! ,     p a r a   v a l o r e s   p a r e s   d e   n 3

a 2 n + 1 = 1 2 - 1 n + 1 2 n n ! 2 n + 1 ! ,     p a r a   v a l o r e s   í m p a r e s   d e   n 3

Resposta

y x = = - 1 n 2 n n ! + - 1 n - 2 2 3.2 n n ! x n ,       p a r a   v a l o r e s   p a r e s   d e   n 3 1 2 - 1 n + 1 2 n n ! 2 n + 1 !   x n ,       p a r a   v a l o r e s   í m p a r e s   d e   n 3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas