Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

UNICAMP, Cálculo 3, P3 - 2011.2 - Noturno, Questão 2

a Defina ponto ordinário e justifique que x = 0 é um ponto ordinário para a equação

y ' ' - x y ' - y = 0                     ( 1 )

( b ) Determine a fórmula de recorrência da solução em série de potências da equação ( 1 ) em torno de x = 0 ;

( c ) Determine a fórmula para o coeficiente geral da solução da equação ( 1 ) ;

( d ) Encontre a solução geral por série de potências da equação ( 1 ) .

Passo 1

( a ) Sendo uma equação na forma

P x y ' ' + Q ( x ) y ' - Q ( x ) y = 0

Dizemos que ponto ordinário é o valor de x tal que P x 0 .

Vamos reconhecer a equação

y ' ' - x y ' - y = 0

como na forma anterior. Então, como P x = 1 0 , todos os pontos são ordinários, inclusive x = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

( b ) Vamos buscar uma solução em série para esta equação. Assim, admitimos uma função analítica com as seguintes características:

f x = n = 0 c n   x n

f ' x = n = 1 c n   n x n - 1

f ' ' x = n = 2 c n   n ( n - 1 ) x n - 2

Passo 3

Vamos, agora, introduzir as fórmulas na equação:

y ' ' - x y ' - y = 0

n = 2 c n   n ( n - 1 ) x n - 2 - x n = 1 c n   n x n - 1 - n = 0 c n   x n = 0

Assim, vamos colocar o x que sobrou para dentro do somatório.

n = 2 c n   n ( n - 1 ) x n - 2 - n = 1 c n   n x n - n = 0 c n   x n = 0

E vamos deixar sempre x n dentro. Para isso, necessitamos fazer um deslocamento no índice do primeiro somatório...

n = 2 c n   n ( n - 1 ) x n - 2 = n = 0 c n + 2   ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n

Logo:

n = 0 c n + 2   ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n - n = 1 c n   n   x n - n = 0 c n   x n = 0

Passo 4

Agora, vamos deixar todos os somatórios a partir do maior valor inicial de n   ( n = 1 ), tirando os termos que sobram do somatório:

n = 0 c n + 2   ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n = c 2 . 2.1 + n = 1 c n + 2   ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n

n = 1 c n   n   x n   :     O k ! = )

n = 0 c n   x n = c 0 + n = 1 c n   x n

Assim, fica:

c 2 . 2.1 + n = 1 c n + 2   ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n - n = 1 c n   n   x n - c 0 + n = 1 c n   x n = 0

E podemos juntar os somatórios:

2 c 2 - c 0 + n = 1 c n + 2   n + 2 n + 1 - c n   n - c n   x n = 0

Mas como x n 0 , teremos

c n + 2   n + 2 n + 1 - c n   n - c n = 0

Passo 5

Para obter a relação de recorrência, temos:

c n + 2   n + 2 n + 1 - c n   n - c n = 0

c n + 2   n + 2 n + 1 = c n   ( n + 1 )

c n + 2   = c n n + 2

Esta relação é válida para n 0 .

Passo 6

( c ) Vamos obter, agora, as duas séries que compõem as soluções linearmente independentes, uma começando em c 0 e outra em c 1 .

y x = n = 0 c n   x n

y x = c 0 + c 2 x 2 + c 4 x 4 + y 1 ( x ) + c 1 x + c 3 x 3 + c 5 x 5 + y 2 ( x )

Assim, teremos:

y 1 x = k = 0 c 2 k   x 2 k

y 2 x = k = 0 c 2 k + 1   x 2 k + 1

Desta forma, quando k varia em uma unidade, estamos pulando os termos de dois em dois, percebeu?

Passo 7

Vamos achar os coeficientes c 2 k e c 2 k + 1 agora, lembrando que c 0 e c 1 são constantes do problema.

Para c 2 k ( k 1 ), temos:

c 2   = c 0   2

c 4   = c 2 4 = c 0 2.4

c 6   = c 4 6 = c 0 2.4 . 6

c 2 k = c 0 2.4 . 6 . . ( 2 k )

Mas podemos reescrever como

c 2 k = c 0 2 k . 1.2 . 3 . . k = c 0 2 k . k !

Portanto,

y 1 x = c 0 k = 0 1 2 k . k !   x 2 k

Passo 8

Agora, para c 2 k + 1 ( k 1 ), temos:

c 3   = c 1   3

c 5   = c 3 5 = c 1 3 . 5

c 7   = c 5 7 = c 1 3.5 . 7

c 2 k + 1 = c 1 3.5 . 7 . . ( 2 k + 1 )

Mas podemos reescrever

3.5 . 7 . . 2 k + 1 = 1.2 . 3.4 . . 2 k . 2 k + 1 2.4 . 6 . . 2 k = 2 k + 1 ! 2 k . k !

Logo:

c 2 k + 1 = c 1 2 k + 1 ! 2 k . k ! = 2 k . k ! 2 k + 1 ! c 1

Portanto,

y 2 x = c 1 k = 0 2 k . k ! 2 k + 1 !   x 2 k + 1

Passo 9

( d ) A solução geral, então, é dada por

y x = y 1 x + y 2 x

y x = c 0 k = 0 1 2 k . k !   x 2 k + c 1 k = 0 2 k . k ! 2 k + 1 !   x 2 k + 1

Resposta

( b ) c n + 2   = c n n + 2 , n 0 .

( c ) c 2 k = c 0 2 k . 1.2 . 3 . . k = c 0 2 k . k ! ; c 2 k + 1 = c 1 2 k + 1 ! 2 k . k ! = 2 k . k ! 2 k + 1 ! c 1

( d ) y x = c 0 k = 0 1 2 k . k !   x 2 k + c 1 k = 0 2 k . k ! 2 k + 1 !   x 2 k + 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas