Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

UFF, Equações Diferenciais, Listas GMA - Lista 4, Questão 4

4 . Determine uma cota inferior para o raio de convergência das séries obtidas como solução de

x 2 - 25 y ' ' + 2 x y ' + y = 0

Ao redor dos pontos x = 0 e x = 1 .

Passo 1

Então, sempre que ele pedir cota inferior, ele está pedindo o maior intervalo de pontos ordinários que contém o x 0 .

No fundo, temos que achar as raízes da função que multiplica y ' ' , calcular a distância das raízes ao ponto x 0 .

Encontrando as raízes:

x 2 - 25 = 0

x - 5 x + 5 = 0

x = 5   e   x = - 5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com x = 0 :

Lembrando que a distância de um número a a um número b é:

d i s t â n c i a = | a - b |

Então vamos fazer a distância entre 0 e - 5 :

0 - - 5 = 5 = 5

Agora, a distância entre 0 e 5 :

0 - 5 = - 5 = 5

Pronto, nosso raio de convergência vai ser a menor dessas distâncias. Perceba que, nesse caso, as distâncias são iguais, então o raio de convergência será x - 0 < 5 x < 5 .

Passo 3

Vamos começar com x = 1 :

Então vamos fazer a distância entre 1 e - 5 :

1 - - 5 = 6 = 6

Agora, a distância entre 1 e 5 :

1 - 5 = - 4 = 4

Pronto, nosso raio de convergência vai ser a menor dessas distâncias. Então o raio de convergência será x - 1 < 4 .

Resposta

x < 5   e   x - 1 < 4 .

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