Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

PUC Rio; Cálculo 4; Prova G2 de 2019.1

Questão 4 (Justifique todas as suas respostas):

Determine a solução geral da EDO

4 - x 2 y ' ' + 2 y = 0

Em volta do ponto x 0 = 0 .

Passo 1

Bem, é uma EDO com coeficientes não constantes, então vamos aplicar séries para resolver.

Vemos que x 0 = 0 , que é o ponto em que se quer analisar a resposta, é um ponto ordinário afinal...

4 - x 0 2 = 4 ≠ 0

A gente viu na teoria que para ponto ordinário podemos chutar a seguinte solução:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Derivando duas vezes:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Substituindo isso na EDO:

4 - x 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos com calma, primeiro passe o x que está no primeiro somatório para dentro:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 ( 4 - x 2 ) + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Como x n - 2 ⋅ x 2 = x n ...

∑ n = 2 ∞ 4 n n - 1 a n x n - 2 - 4 n n - 1 a n x n + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0   →

Separando esse somatório em 2 ...

- ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n + 4 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

A primeira coisa a fazer sempre é deixar tudo com o mesmo expoente de x n , vemos que o segundo somatório está com a cara de x n - 2 , o que devemos fazer é substituir n por n + 2 , mas substituía em tudo hein!

∑ n + 2 = 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 2 - 1 ) a n + 2 x n + 2 - 2

Sacou?! Vamos só ajeitar as contas:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

Então vamos voltar para o somatório, substituindo agora esse somatório que obtivemos agora:

- ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n + 4 ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Eita que beleza! Mas ferrou, agora tem um cara começando em 2 e o resto começando em 0 !

Nesses casos, você sempre abre os somatórios que começam antes até o valor do somatório que começa com o maior valor. No caso, o somatório que começa com o maior valor é o primeiro, porque ele começa em 2 e o resto em 0 . Então vamos abrir os outros para começarem em 2 também!

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n = 2 a 2 + 6 a 3 x + ∑ n = 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + ∑ n = 1 ∞ a n x n

Substituindo isso:

- ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n + 4 2 a 2 + 6 a 3 x + ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n + 2 a 0 + a 1 x + ∑ n = 1 ∞ a n x n = 0

- ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n + 8 a 2 + 24 a 3 x + 4 ∑ n = 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n + 2 a 0 + 2 a 1 x + 2 ∑ n = 1 ∞ a n x n = 0

Opa! Agora que tudo está com o mesmo expoente e começando no mesmo valor, podemos juntar!

8 a 2 + 2 a 0 + 24 a 3 x + 2 a 1 x + ∑ n = 2 ∞ [ 4 n + 2 n + 1 a n + 2 - n n - 1 a n + 2 a n ] x n = 0

Passo 3

Então ficou com essa cara aqui:

8 a 2 + 2 a 0 + 24 a 3 x + 2 a 1 x + ∑ n = 2 ∞ [ 4 n + 2 n + 1 a n + 2 - n n - 1 a n + 2 a n ] x n = 0

Pelo princípio da identidade, isso só é igual a 0 se:

8 a 2 + 2 a 0 = 0 24 a 3 x + 2 a 1 x = 0 4 n + 2 n + 1 a n + 2 - n n - 1 a n + 2 a n = 0

Da primeira equação temos que:

a 2 = - 1 4 a 0

Da segunda, como não queremos fazer x = 0 , nós temos que:

24 a 3 = - 2 a 1   →

a 3 = - 1 12 a 1 = - 1 4 ⋅ 3 a 1

E da terceira, temos que:

4 n + 2 n + 1 a n + 2 - n n - 1 a n + 2 a n = 0     →

4 n + 2 n + 1 a n + 2 - a n n n - 1 - 2 = 0     →

4 n + 2 n + 1 a n + 2 - a n n 2 - n - 2 = 0     →

Ora, sabemos que esse termo envolvendo quadrado n 2 - n - 2 , possui duas raízes por báskara ( - 1 e + 2 ), então podemos falar que...

n + 1 n - 2 = n 2 - n - 2

Logo...

4 n + 2 n + 1 a n + 2 - a n n + 1 n - 2 = 0     →

4 n + 2 n + 1 a n + 2 = a n n + 1 n - 2     →

4 n + 2 a n + 2 = a n n - 2     →

Arrumando mais um pouco:

a n + 2 = n - 2 4 n + 2 a n   p a r a   n ≥ 2

Agora caímos na famosa relação de recorrência, né? Temos que achar uma forma geral pra ela e a gente só acha testando! Simbora?

Passo 4

Vamos ir substituindo os n até chegar em algo que possamos conhecer, ok?

    n = 2 → a 4 = 2 - 2 4 2 + 2 a 2 = 0 n = 3 → a 5 = 3 - 2 4 3 + 2 a 3 = 1 4 ⋅ 5   a 3 n = 4 → a 6 = 4 - 2 4 4 + 2 a 4 = 0 n = 5 → a 7 = 5 - 2 4 5 + 2 a 5 = 3 4 ⋅ 7 ⋅ 1 4 ⋅ 5 a 3 n = 6 → a 8 = 6 - 2 4 6 + 2 a 6 = 0 n = 7 → a 9 = 7 - 2 4 7 + 2 a 7 = 5 4 ⋅ 9 ⋅ 3 4 ⋅ 7 ⋅ 1 4 ⋅ 5 a 3 n = 8 → a 10 = 8 - 2 4 8 + 2 a 8 = 0  

Eita, negócio não é fácil, mas vamos com calma. Percebeu que todo a n com n = í m p a r ficou referido a a 3 . E todo a n com n = p a r ficou 0 , pois o primeiro já era zero, e como os outros dependiam deste, ficaram 0 também.

Como a 3 já encontramos lá atrás e vale - 1 4 ⋅ 3 a 1 , então podemos resumir assim...

    n = 2 → a 4 = 0 n = 3 → a 5 = 1 4 ⋅ 5 - 1 4 ⋅ 3   a 1 n = 4 → a 6 = 0 n = 5 → a 7 = 3 4 ⋅ 7 ⋅ 1 4 ⋅ 5 - 1 4 ⋅ 3 a 1 n = 6 → a 8 = 0 n = 7 → a 9 = 5 4 ⋅ 9 ⋅ 3 4 ⋅ 7 ⋅ 1 4 ⋅ 5 - 1 4 ⋅ 3 a 1 n = 8 → a 10 = 0  

Simplificando ainda mais um pouco cancelando os termos que tem que cancelar e juntando os que tiver que juntar...

    n = 2 → a 4 = 0 n = 3 → a 5 = - 1 4 2 ⋅ 5 ⋅ 3 a 1   n = 4 → a 6 = 0 n = 5 → a 7 = - 1 4 3 ⋅ 7 ⋅ 5 a 1 n = 6 → a 8 = 0 n = 7 → a 9 = 1 4 4 ⋅ 9 ⋅ 7 a 1 n = 8 → a 10 = 0  

Assim, com a simplificação, temos para n par:

a 2 n = 0 ,     n ≥ 2

E para todo n ímpar, ( 2 n + 1 ), basta observar o padrão, como por exemplo, 4 está sempre elevado a n , com n começando de 2 ...

a 2 n + 1 = - 1 4 n ⋅ 2 n + 1 2 n + 1 - 2 a 1                   p a r a             n ≥ 2

Ou...

a 2 n + 1 = - 1 4 n ⋅ 2 n + 1 2 n - 1 a 1                               p a r a             n ≥ 2

Lá em cima, vimos que

a 3 = - 1 4 ⋅ 3 a 1

Repara que essa fórmula não está incluindo o a 1 já que estamos sempre falando que n de ser maior que 2 , mas ela também serve para essa relação do a 3 com o a 1 . Assim, podemos começar a nossa relação em n = 1

a 2 n + 1 = - 1 4 n ⋅ 2 n + 1 2 n - 1 a 1                               p a r a             n ≥ 1

Em relação aos termos pares, todos eles são nulos com exceção de 2 :

a 2 = - 1 4 a 0

E o a 0 (que não conhecemos) e o a 2 que depende de a 0 . Só lembrando que eles podem ser 0 , a gente só não pode falar nada!

Passo 5

Com os coeficientes encontrados, podemos agora dar a resposta do nosso problema.

Sabemos lá do passo 1 que a resposta da EDO nada mais é que...

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Podemos dividir esse somatório em pares e ímpares da seguinte forma:

y x = ∑ n = 0 ∞ a 2 n x 2 n + ∑ n = 0 ∞ a 2 n + 1 x 2 n + 1

Podemos tirar os primeiros valores de todos esses somatórios substituindo n = 0 :

y x = a 0 + a 1 x + ∑ n = 1 ∞ a 2 n x 2 n + ∑ n = 1 ∞ a 2 n + 1 x 2 n + 1

Além disso, os termos pares são nulos para n ≥ 2 com exceção do a 2 ...

y x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ∑ n = 2 ∞ a 2 n x 2 n + ∑ n = 1 ∞ a 2 n + 1 x 2 n + 1

y x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ∑ n = 1 ∞ a 2 n + 1 x 2 n + 1

Substituindo cada um desses valores então...

y x = a 0 + a 1 x - 1 4 a 0 x 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 4 n ⋅ 2 n + 1 2 n - 1 a 1 x 2 n + 1

y x = a 0 1 - 1 4 x 2 + a 1 x + a 1 ∑ n = 1 ∞ - 1 4 n ⋅ 2 n + 1 2 n - 1 x 2 n + 1

Resposta

y x = a 0 1 - 1 4 x 2 + a 1 x + a 1 ∑ n = 1 ∞ - 1 4 n ⋅ 2 n + 1 2 n - 1 x 2 n + 1

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