Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

UNICAMP, Cálculo 3, P2 - 2018.2, Questão Q03

Sendo x 0 = 0 um ponto ordinário da EDO y ' ' - x y ' - y = 0 , sabemos que a mesma admite uma solução em série da forma y x = n = 0 a n x n .

(a) (1,5pt) Encontre a relação de recorrência dos coeficientes de a n ;

(b) (1,5pt) Encontre os coeficientes e escreva a solução em sua forma geral;

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão quer que a gente ache a solução da EDO usando a série

y x = n = 0 a n x n .

Vamos começar achando as derivadas primeira e segunda para depois podermos substituir na nossa EDO.

y ' x = n = 1 n . a n x n - 1

y ' ' x = n = 2 n . n - 1 . a n x n - 2

Agora, podemos substituir na nossa EDO da seguinte forma:

n = 2 n . n - 1 . a n x n - 2 - x n = 1 n . a n x n - 1 - n = 0 a n x n = 0

Rearrumando, teremos:

n = 2 n . n - 1 . a n x n - 2 - n = 1 n . a n x n - n = 0 a n x n = 0

O próximo passo agora é colocar todos os somatórios com os mesmos intervalos, ou seja, começando em n = 0 e os termos multiplicando x n .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

No primeiro termo, podemos colocar n começando em zero e somar 2 onde aparece n . Calma, que falando parece mais complicado do que é. Olha aqui:

n = 2 n . n - 1 . a n x n - 2 = n = 0 ( n + 2 ) . n + 1 . a n + 2 x n

Conseguimos fazer o somatório começar do zero e o expoente do x ficar igual a n .

Vamos olhar o segundo termo agora:

n = 1 n . a n x n

Nesse caso, o expoente do x já está ajustado, mas então como vamos ajustar o valor inicial do somatório? Vamso pensar qual seria o termo para n = 0 . Bom, o primeiro termo seria zero.

n = 0 n . a n x n = 0 . a 0 x 0 + n = 1 n . a n x n = n = 1 n . a n x n

Então, nesse caso, colocar o somatório começando em zero não vai alterar o nosso somatório.

Vamos colocar esses novos somatórios na nossa expressão que era:

n = 2 n . n - 1 . a n x n - 2 - n = 1 n . a n x n - n = 0 a n x n = 0

n = 0 ( n + 2 ) . n + 1 . a n + 2 x n - n = 0 n . a n x n - n = 0 a n x n = 0

Como os termos dos somatórios são iguais, podemos colocar em um somatório único:

n = 0 ( n + 2 ) . n + 1 . a n + 2 x n - n . a n x n - a n x n = 0

Colocanso o termo x n em evidência, teremos:

n = 0 x n n + 2 . n + 1 . a n + 2 - n . a n - a n = 0

Para isso ocorrer, temos que:

n + 2 . n + 1 . a n + 2 - n . a n - a n = 0

Assim, a gente chega no que pede a letra (a) do problema, ou seja, a relação de recorrência:

n + 2 . n + 1 . a n + 2 - n + 1 . a n = 0

Como n + 1 0 , podemos simplificar e a nossa recorrência fica:

n + 2 . a n + 2 - a n = 0

Letra (a) resolvida!! Vamos agora para a letra (b).

Passo 3

Na letra (b), a questão quer que a gente encontre os coeficientes e escreva a forma geral da solução. Vamos ver pela relação de recorrência como ficarão os coeficientes.

1) Para n = 0 , 0 + 2 a 2 = a 0 a 2 = a 0 2

2) Para n = 1 , 1 + 2 a 3 = a 1 a 3 = a 1 3

3) Para n = 2 , 2 + 2 a 4 = a 2 a 4 = a 2 4 = a 0 8

4) Para n = 3 , 3 + 2 a 5 = a 3 a 5 = a 3 5 = a 1 3.5 = a 1 15

Sei que parece cansativo, mas é a melhor forma de entendermos o que está acontecendo oara cada valor de n .

Bom, a gente vê que há uma lei de formação para n par que fica em função de a 0 e uma lei de formação para n ímpar que fica em função de a 1 . Podemos então separar nos números pares 2 k e nos números ímpares 2 k + 1 , onde k é um número inteiro.

Para os números pares, chegaremos em:

a 2 k = a 0 2 k ( 2 k - 2 )

Para valores de k > 1 . Observe que essa condição é colocada para que não tenhamos zero no denominador.

Já para os números ímpares, chegaremos em:

a 2 k + 1 = a 1 ( 2 k + 1 ) ( 2 k - 1 )

Maravilha!! A primeira parte da letra (b) está resolvida, os coeficientes foram encontrados. Vamos, agora, escrever a solução na foma geral.

y x = a 0 + a 1 x + a 0 2 x 2 + a 1 3 x 3 + k = 2 a 0 2 k ( 2 k - 2 ) + a 1 ( 2 k + 1 ) ( 2 k - 1 )

Lembrando que escrevemos esses quatro primeiros termos para o nosso somatório começar em 2 e não termos zero no denominador.

Questão resolvida!!

Resposta

(a) n + 2 . a n + 2 - a n = 0

(b) Coeficientes:

a 2 k = a 0 2 k ( 2 k - 2 )

a 2 k + 1 = a 1 ( 2 k + 1 ) ( 2 k - 1 )

Forma geral:

y x = a 0 + a 1 x + a 0 2 x 2 + a 1 3 x 3 + k = 2 a 0 2 k ( 2 k - 2 ) + a 1 ( 2 k + 1 ) ( 2 k - 1 )

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