Determine para quais valores de p > 0 a série:

∑ n = 1 ∞ ( n p + 1 - n p )  

É convergente e para quais é divergente.

Passo 1

Sempre que tivermos raiz no numerador será meio complicado de analisar. Então a boa é ajeitar a função de forma que eliminemos isso e uma forma de sumir com essa raiz do numerador é multiplicando pelo conjugado. Então vamos lá,

∑ n = 1 ∞ ( n p + 1 - n p ) n p + 1 + n p n p + 1 + n p = ∑ n = 1 ∞ n p + 1 - n p n p + 1 + n p = ∑ n = 1 ∞ 1 n p + 1 + n p  

Agora vamos ter

a n = 1 n p + 1 + n p

Passo 2

Galera, neste caso, você pode tentar aplicar o teste da divergência e da comparação, mas já adianto que nenhum dos dois será conclusivo. Então vamos para o teste da comparação no limite.

Repara que nós temos um p -série, então vamos pensar em uma outra p -série parecida para comparar. Vamos comparar com a série

∑ n = 1 ∞ 1 n p / 2

Assim vamos ter

b n = 1 n p / 2

Usando o teste de comparação no limite,

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n p + 1 + n p 1 n p / 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 n p + 1 + n p ∙ n p / 2 1 = lim n → ∞ ⁡ n p / 2 n p + 1 + n p

Para resolver isso vamos colocar n p / 2 em evidência

lim n → ∞ ⁡ n p / 2 n p + 1 + n p = lim n → ∞ ⁡ n p / 2 n p / 2 1 + 1 n p + n p / 2 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n p + 1 = 1 1 + 0 + 1 = 1 2

Assim, sabemos que a condições de convergência dessas séries são as mesmas!

Passo 3

Agora que sabemos que ela tem a mesma convergência que

∑ n = 1 ∞ 1 n p / 2

Vamos analisar essa série, repara que ela é uma p -série, assim ela converge para:

p 2 > 1 → p > 2

E diverge para:

p 2 ≤ 1 → p ≤ 2

Isso nos diz que nossa série

C o n v e r g e s e p > 2 D i v e r g e s e p ≤ 2

Resposta

C o n v e r g e s e p > 2 D i v e r g e s e p ≤ 2

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Teste a convergência ou divergência das séries. ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1