Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

USP - Cálculo 4 - P1 2011 - 2c

Decida se a série converge condicionalmente ou absolutamente ou diverge

n = 1 1 - n sen 1 n

Passo 1

Para olharmos a convergência dessa série vamos começar vendo se ela é absolutamente convergente, ou seja, a convergência de

n = 1 1 - n sen 1 n

Assim temos

a n = 1 - n sen 1 n

Olhando para essa série é interessante começarmos usando o teste da divergência, vamos calcular o seu limite

lim n a n = lim n 1 - n sen 1 n

Vamos dar uma arrumada nisso

lim n 1 - n sen 1 n = lim n 1 - sen 1 n 1 / n

Eu fiz isso porque fazendo n temos naquele seno o limite fundamental, que seria

lim a 0 sen a a = 1

Assim como o cara dentro do seno é igual ao cara embaixo do seno vamos ter

lim n 1 - sen 1 n 1 / n = 1 - 1 = 0

Então o teste da divergência não ajudou.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos pensar em outra coisa, seria interessante tentar comparar essa série com uma p série, que é uma série que conhecemos, mas não sabemos qual, então vamos fazer a conta para uma p série qualquer e depois fazendo as contas vemos qual p séries podemos escolher.

Tentar comparar pelo teste da comparação não é algo fácil de fazer aqui, então vamos tentar usar o teste da comparação no limite dessa série com

n = 1 1 n p

Assim vamos ter

b n = 1 n p

Passo 3

Vamos agora aplicar o teste da comparação no limite com a n e b n , pelo teste da comparação no limite queremos

lim n a n b n = lim n 1 - n sen 1 n 1 n p = lim n 1 - n sen 1 n n p

Esse limite vai ficar dependendo do p , vamos começar considerando p > 0 , assim

lim n 1 - n sen 1 n n p = 0

Isso é uma indeterminação, vamos fazer

lim n 1 - n sen 1 n n p = lim n 1 - n sen 1 n n - p = 0 0

Além disso vamos fazer a mudança

1 n = a

Isso vai facilitar nossas contas porque aquele seno fica mais agradável.

Assim temos

n ,     e n t ã o ,     a 0 +

Nosso limite vai ficar

lim a 0 + 1 - 1 a sen a 1 a - p = lim a 0 + 1 - 1 a sen a a p

Vamos juntar tudo e deixar aquele módulo do lado de fora

lim a 0 + 1 - 1 a sen a a p = lim a 0 + 1 - 1 a sen a a p = lim a 0 + 1 - 1 a sen a a p

Então estamos interessados em

lim a 0 + 1 - 1 a sen a a p

Vamos dar uma arrumada nisso

lim a 0 + 1 - 1 a sen a a p = lim a 0 + a - sen a a p + 1

E vamos ter

lim a 0 + a - sen a a p + 1 = 0 - sen 0 0 = 0 0

Assim podemos usar a regra de L’hopital

lim a 0 + a - sen a a p + 1 = lim a 0 + a - sen a ' a p + 1 ' = lim a 0 + 1 - cos a p + 1 a p = 1 - cos 0 0 = 1 - 1 0 = 0 0

Vamos aplicar L’Hospital de novo, lembrando que consideramos p > 0 então existe a derivada de a p

lim a 0 + 1 - cos a p + 1 a p = lim a 0 + 1 - cos a ' p + 1 a p ' = lim a 0 + sen a p + 1 p a p - 1 =

sen 0 p + 1 p . 0 p - 1 = 0 p + 1 p . 0 p - 1

Mas o nosso teste da comparação no limite precisa dar um número maior que 0 para dar certo, se tivermos p - 1 = 0 aquele limite ali de cima fica 0 , porque teríamos a 0 = 1 , e embaixo sobraria um número, mas queremos um número maior que 0 , então vamos fazer p - 1 > 0 , que assim continuamos tendo 0 no denominador

Assim o nosso limite vai ficar 0 / 0 , e temos que aplicar L’Hopital de novo

lim a 0 + sen a p + 1 p a p - 1 = lim a 0 + sen a ' p + 1 p a p - 1 ' = lim a 0 + cos a p + 1 p p - 1 a p - 2 =

cos 0 p + 1 p p - 1 0 p - 2 = 1 p + 1 p p - 1 0 p - 2

Caimos numa situação parecida, só que dessa vez nosso numeador é 1 , se nosso denominador for um número teríamos um número afinal, então vamos fazer

p - 2 = 0

Assim teremos

a 0 = 1

E vamos ter nosso limite sendo

1 p + 1 p p - 1

E isso é um número, assim a nossa série tem o mesmo comportamento que uma p série. Assim temos

p = 2

E

b n = 1 n 2

E o limite vai para

1 2 + 1 2 2 - 1 = 1 6

Lembrando que queremos o módulo disso.

Passo 3

Pelo teste da comparação no limite vimos que

lim n a n b n = 1 6 = 1 6 > 0

Assim a série dos termos em módulo tem o mesmo comportamento da p série com p = 2 e como essa p série converge, vamos ter que a nossa série converge absolutamente.

Resposta

Converge absolutamente

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