Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

USP, Cálculo 4, P2 - 2016, Questão 3B

Determine se cada série a seguir converge absolutamente, condicionalmente ou diverge:

b n = 1 - 1 n + 1 c o s 2 π 2 + 1 n

Passo 1

Primeiro, vamos pensar no módulo dessa série. Ficamos com:

n = 1 c o s 2 π 2 + 1 n

Observe que c o s 2 π 2 + 1 n = cos π 2 cos 1 n - s e n π 2 s e n 1 n 2 = s e n 2 1 n

Noooossa, melhorou bastante essa expressão né? Vamos tentar usar o critério da comparação do limite. Para isso, observe que s e n 1 n 1 n       s e n 2 1 n 1 n

lim n s e n 2 1 n 1 n = l i m n s e n 1 n 1 n 2 = 1

Como o limite deu algo constante, o que acontece com uma série, acontece com a outra. Já que n = 1 1 n é divergente, a nossa série em módulo também diverge.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já vimos que nossa série em módulo diverge, mas e a série? Tendo em vista que a série é alternada, vamos usar o critério das séries alternadas, que diz o seguinte:

Dada uma série n = 1 - 1 n b n   , ela é convergente se satisfizer as seguintes condições:

b n + 1 b n lim n b n = 0

Beleza. Sabendo isso, vamos ver se a série é condicionalmente convergente ou não.

lim n c o s 2 π 2 + 1 n = 0

Esse limite é zero porque o termo 1 / n   tende a zero quando n , fazendo com que reste apenas o c o s 2 π 2 = 0 .

Para sabermos se é decrescente ou não, calcularemos a derivada :D

f x = c o s 2 π 2 + 1 n = s e n ² 1 x

f ' x = 2 s e n 1 x c o s 1 x - 1 2 x 3 = - 1 2 s e n 2 x 1 x 3 < 0

- 1 2 s e n 2 x 1 x 3 < 0   ,   x > 4 π 2

Perceba que se x = 4 π 2 f ' x = 0 . Por isso, tal condição.

Bom, agora já satisfizemos tudo o que era necessário, e sabemos então que nossa série é condicionalmente convergente, já que seu módulo diverge e ela não.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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