Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G2 - 2017.1, Questão 2a

  1. Determine se a sentença abaixo é verdadeira ou falsa:

Se n = 0 a n é uma série convergente de termos positivos, então n = 0 sin a n converge.

Passo 1

Cara, a primeira coisa que a gente tem que fazer em exercício de teste que a gente não sabe se converge ou diverge como esse, é verificar se o termo geral da série que a gente quer testar (no caso é sin a n ) vai a z e r o ou não.

Por quê?

Bem simples, se ela não for à zero, então com certeza a série diverge, se lembra?

Então bora lá! :D

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Passo 2

Verificar essa condição é um limite no infinito, neh

lim n sin a n =   ?

Bem, esse limite aí depende inteiramente desse a n , ou seja

lim n a n

Como do enunciado a gente tem que a série n = 0 a n converge, então é porque esse limite aqui lim n a n , vale

lim n a n = 0

pois é a única forma dela convergir, certo?

Bem, então se a n está indo para z e r o , o que está acontecendo com o sin a n ?

Indo pra 0 , percebeu?

lim n sin a n = 0

Mas cuidado! Esse limite indo pra zero, não significa que a série converge, ok? Só nos fala que a gente não pode falar logo de cara que a série diverge!

Éhhh infelizmente a vida não é fácil, neh hehe! Mas me acompanha que a gente vai vencer!

Passo 3

Pow! como a gente não tem muitas informações a respeito de a n , a legal a gente dar uma olhadinha no método da comparação no limite, ele pode nos ajudar.

Não se recorda bem?

É esse daqui ohh

lim n b n c n

Esse b n aí é sequencia da série que estamos querendo testar sin a n e o c n é sequência da série que vamos usar de comparação (aquela série n = 0 a n dita no enunciado)

Portando c n = a n , no nosso caso, pegou?

Substituindo então tudo aí nesse limite...

lim n b n c n = lim n sin a n a n

Passo 4

CARACA! Esse limite aí ele muuuuito parecido com um limite muito famoso, o limite fundamental da trigonometria, se lembra? Esse daqui ohhh:

lim x 0 sin x x = 1

A diferença é que lá em cima a gente tem n indo para o infinito, mas espera! Quem está indo par o infinito é o n , mas o que realmente interessa é o a n .

Como a gente já viu, a n está indo pra z e r o ! Então falar que esse limite acontece quando n vai para o infinito ou quando a n vai pra zero é a mesma coisa, pegou?

lim n sin a n a n = lim a n 0 sin a n a n

Cara, então se esse limite aqui

lim x 0 sin x x

vai pra um, a gente pode falar com certeza que o limite dessa sequência aqui

lim a n 0 sin a n a n

também vai para...

lim a n 0 sin a n a n = 1

Bem, se o limite desse teste de comparação não foi zero, a série de sin ( a n ) só pode convergir!

Resposta

S e n t e n ç a   V e r d a d e i r a

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