Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

USP, Cálculo 4, P-SUB - 2013, Questão 2a

Determine se a série converge absolutamente, se converge condicionalmente ou se diverge.

n = 1 sen 1 n 3 + n

Passo 1

Vamos começar vendo se a série converge absolutamente.

Bem temos uma série muito louca ali né? Vamos primeiro ver se o limite do termo geral vai para 0 ou não, se não for já sabemos que ela não converge.

O termo geral vai ser

a n = sen 1 n 3 + n

Vamos ter

lim n sen 1 n 3 + n = sen 1 = sen 0 = 0 = 0

Então por enquanto não podemos dizer que diverge nem que converge.

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Passo 2

Repara que temos um seno certo? Então temos

lim a 0 sen a a = 1

Como aquele cara dentro do seno vai para 0 podemos usar o teste da comparação no limite para comparar o seno com aquela série,

Vamos fazer

b n = 1 n 3 + n

Então

lim n a n b n = lim n sen 1 n 3 + n 1 n 3 + n = lim n sen 1 n 3 + n 1 n 3 + n   = 1 = 1

Isso nos diz que essas duas series tem o mesmo comportamento.

Passo 3

Vamos ver agora a série

n = 1 1 n 3 + n

Repara que

1 n 3 + n = 1 n n 2 + 1

Como n > 1 e n 2 + 1 > 0 temos

1 n n 2 + 1 = 1 n n 2 + 1

Vamos analisar

n = 1 1 n 3 + n

Como temos uma série que tem um polinômio embaixo, vamos arrumar esse termo geral colocando o maior grau em evidência

b n = 1 n 3 1 + 1 n 2

Se fizermos o teste da comparação com

c n = 1 n 3

Vamos ter

lim n b n c n = lim n 1 n 3 1 + 1 n 2 1 n 3 = lim n 1 1 + 1 n 2 = 1

Como a série de c n é uma p série, essa série converge, assim vamos ter que a série de b n converge, o que faz a nossa série convergir absolutamente.

Resposta

Converge absolutamente

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