Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 672, exercício 21

Determine se a série converge ou diverge

n = 1 n + 2 2 n 2 + n + 1

Passo 1

Mais uma vez, vamos olhar os índices dominantes de n , tanto no numerador quanto no denominador. Em cima, temos n 1 / 2 , embaixo, n 2 . Fazendo o quociente, temos:

n 1 / 2 n 2 = n 1 / 2 - 2 = n - 3 / 2 = 1 n 3 / 2

Portanto, a série que queremos estudar é parecida com uma p-série de p = 3 / 2 > 1 (que converge), o que nos leva a pensar que ela deva convergir.

Porem, comparar essa série do problema com a p-série parece complicado, não é? Meio difícil estabelecer uma relação entre as duas para aplicar o Teste da comparação, ainda mais por causa da raiz. Vamos, então, tentar o Teste da comparação no limite.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para aplicar o teste, vamos usar a p-série que acabamos de mencionar:

n = 1 1 n 3 / 2

Calculando o limite:

lim n a n b n = lim n n + 2 2 n 2 + n + 1 × n 3 / 2 =

= lim n n 4 + 2 n 3 2 n 2 + n + 1 =

= lim n n 2 1 + 2 / n n 2 ( 2 + 1 / n + 1 / n 2 ) =

= lim n   1 + 2 / n ( 2 + 1 / n + 1 / n 2 ) = 1 2     > 0

Como encontramos um número maior que zero, pelo Teste da comparação no limite, sabemos que ambas as séries convergem.

Resposta

A série converge.

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