Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

USP, Cálculo 4, P-SUB - 2011, Questão 2c

Determine se a série converge ou se diverge.

n = 1 sen 2 1 n 2 3

Passo 1

Vamos começar vendo se a série converge absolutamente.

Bem temos uma série muito louca ali né? Vamos primeiro ver se o limite do termo geral vai para 0 ou não, se não for já sabemos que ela não converge.

O termo geral vai ser

a n = sen 2 1 n 2 3

Vamos ter

lim n sen 2 1 n 2 3 = sen 2 1 = sen 2 0 = 0 2 = 0

Então por enquanto não podemos dizer que diverge nem que converge.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Repara que temos um seno certo? Então temos

lim a 0 sen a a = 1

Como aquele cara dentro do seno vai para 0 podemos usar o teste da comparação no limite para comparar o seno com aquela série,

Vamos fazer

b n = 1 n 2 3 2

Então

lim n a n b n = lim n sen 2 1 n 2 3 1 n 2 3 2 = lim n sen 1 n 2 3 1 n 2 3 2 = 1 2 = 1

Isso nos diz que essas duas series tem o mesmo comportamento.

Passo 3

Vamos ver agora a série

n = 1 1 n 2 3 2

Dando uma arrumada no termo geral dessa série temos

1 n 2 / 3 2 = 1 n 4 / 3

Que é uma p série com p > 1 , isso nos diz que ela converge, então a nossa série do enunciado converge também.

Resposta

Converge

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