Determine se a série converge ou se diverge.

∑ n = 1 ∞ sen 2 ⁡ 1 n 2 3

Passo 1

Vamos começar vendo se a série converge absolutamente.

Bem temos uma série muito louca ali né? Vamos primeiro ver se o limite do termo geral vai para 0 ou não, se não for já sabemos que ela não converge.

O termo geral vai ser

a n = sen 2 ⁡ 1 n 2 3

Vamos ter

lim n → ∞ ⁡ sen 2 ⁡ 1 n 2 3 = sen 2 ⁡ 1 ∞ = sen 2 ⁡ 0 = 0 2 = 0

Então por enquanto não podemos dizer que diverge nem que converge.

Passo 2

Repara que temos um seno certo? Então temos

lim a → 0 ⁡ sen ⁡ a a = 1

Como aquele cara dentro do seno vai para 0 podemos usar o teste da comparação no limite para comparar o seno com aquela série,

Vamos fazer

b n = 1 n 2 3 2

Então

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ sen 2 ⁡ 1 n 2 3 1 n 2 3 2 = lim n → ∞ ⁡ sen ⁡ 1 n 2 3 1 n 2 3 2 = 1 2 = 1

Isso nos diz que essas duas series tem o mesmo comportamento.

Passo 3

Vamos ver agora a série

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 3 2

Dando uma arrumada no termo geral dessa série temos

1 n 2 / 3 2 = 1 n 4 / 3

Que é uma p série com p > 1 , isso nos diz que ela converge, então a nossa série do enunciado converge também.

Resposta

Converge

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Teste a convergência ou divergência das séries. ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1