Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

UNICAMP, Cálculo 3, P3 - 2010.2, Questão 2d

( d ) Determine se a série

n n 2 + 1

é convergente ou divergente explicitando o teste utilizado.

Passo 1

Primeiro vamos definir

a n = n n 2 + 1

b n = 1 n 3 / 2

Assim, observamos que

lim n b n a n = lim n 1 n 3 / 2 . n 2 + 1 n = lim n n 2 + 1 n 2 = 1

Repare que aqui não faz diferença se a gente usar b n a n ou a n b n , o resultado vai ser o mesmo. Porque o que importa pra gente é que o resultado seja um número, para que o Teste da Comparação no Limite funcione.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A série b n é convergente, pois é uma p-série com p = 3 / 2   > 1 .

Assim, pelo Teste da Comparação no Limite, concluímos que a série a n também é convergente.

Resposta

Convergente; Teste da Comparação no Limite.

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