Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

USP - Cálculo 4 - P1 2013 - 3b

Determine para quais valores de p > 0 a série:

n = 1 ( n p + 1 - n p )  

É convergente e para quais é divergente.

Passo 1

Esse termo é meio ruim de ficar usando, vamos tentar dar uma arrumada antes de fazer qualquer coisa, para isso vamos fazer a multiplicação por um conjugado.

n = 1 ( n p + 1 - n p ) n p + 1 + n p n p + 1 + n p = n = 1 n p + 1 - n p n p + 1 + n p = n = 1 1 n p + 1 + n p  

Agora vamos ter

a n = 1 n p + 1 + n p

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A primeira coisa que teríamos que olhar nessa conta seria se o limite do termo geral vai para 0 , mas não vamos fazer isso. Por que? Repara que temos um polinômio no denominador e um no numerador nesse termo geral.

Por mais estranho que seja, no denominador temos um polinômio de grau p / 2 , e no numerador temos um polinômio de grau 0 .

Então vamos usar o teste da comparação no limite.

Vamos comparar com a série

n = 1 1 n p / 2

Assim vamos ter

b n = 1 n p / 2

Usando o teste de comparação no limite,

lim n a n b n = lim n 1 n p + 1 + n p 1 n p / 2 = lim n 1 n p + 1 + n p n p / 2 1 = lim n n p / 2 n p + 1 + n p

Para resolver isso vamos colocar n p / 2 em evidência

lim n n p / 2 n p + 1 + n p = lim n n p / 2 n p / 2 1 + 1 n p + n p / 2 1 = lim n 1 1 + 1 n p + 1 = 1 1 + 0 + 1 = 1 2

Assim, sabemos que a condições de convergência dessas séries são as mesmas!

Passo 3

Agora que sabemos que ela tem a mesma convergência que

n = 1 1 n p / 2

Vamos analisar essa série, repara que ela é uma p -série, assim ela converge para:

p 2 > 1 p > 2

E diverge para:

p 2 1 p 2

Isso nos diz que nossa série

C o n v e r g e s e p > 2 D i v e r g e s e p 2

Resposta

C o n v e r g e s e p > 2 D i v e r g e s e p 2

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