Encontre os valores de p para os quais a série

∑ n = 1 ∞ n n 2 + 1 p

É convergente.

Passo 1

Nessa questão vamos usar o critério da comparação no limite. Temos:

a n = n n 2 + 1 p

Perceba que o cara de maior grau no a n é n 2 p + 1 . Então vamos escolher:

b n = n 2 p + 1

Vamos calcular o limite da razão entre esses termos e se obtivermos um número maior que zero e diferente de infinito, ou as duas convergem ou as duas divergem.

lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 1 p n 2 p + 1 = lim n → ∞ ⁡ n 2 + 1 p n 2 p = lim n → ∞ ⁡ n 2 + 1 n 2 p = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 2 p = 1

Maneiroooo! Então temos que se

∑ n = 1 ∞ n n 2 + 1 p   c o n v e r g e   ⇔     ∑ n = 1 ∞ n 2 p + 1   c o n v e r g e

Lembrando que:

∑ n = 1 ∞ n 2 p + 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 n - 2 p - 1

E a gente já viu que essa p-série converge para - 2 p - 1 > 1 → p < - 1 .

Resposta

A série é convergente para p < - 1 .

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Teste a convergência ou divergência das séries. ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1