Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

USP, Cálculo 4, P1 - 2017, Questão 2

Encontre os valores de p para os quais a série

n = 1 n n 2 + 1 p

É convergente.

Passo 1

Nessa questão vamos usar o critério da comparação no limite. Temos:

a n = n n 2 + 1 p

Perceba que o cara de maior grau no a n é n 2 p + 1 . Então vamos escolher:

b n = n 2 p + 1

Vamos calcular o limite da razão entre esses termos e se obtivermos um número maior que zero e diferente de infinito, ou as duas convergem ou as duas divergem.

lim n n n 2 + 1 p n 2 p + 1 = lim n n 2 + 1 p n 2 p = lim n n 2 + 1 n 2 p = lim n 1 + 1 n 2 p = 1

Maneiroooo! Então temos que se

n = 1 n n 2 + 1 p   c o n v e r g e       n = 1 n 2 p + 1   c o n v e r g e

Lembrando que:

n = 1 n 2 p + 1 = n = 1 1 n - 2 p - 1

E a gente já viu que essa p-série converge para - 2 p - 1 > 1 p < - 1 .

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Resposta

A série é convergente para p < - 1 .

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