Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

UFRJ, Cálculo 4, P1 - 2018.1, Questão 1c

Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da série abaixo:

n = 1 2 n - 1

Passo 1

OK, se aplicarmos o teste da divergência, teremos essa situação: lim n 2 n - 1 = lim n 2 1 n - 1 = 2 l i m n 1 n - 1 = 2 0 - 1 = 0

Ou seja, não vamos chegar em nenhuma conclusão, pois encontramos limite zero.

Então, é interessante usarmos o teste na comparação no limite para podermos chegar numa conclusão. O teste basicamente nos diz que para dois termos positivos (nosso caso), temos que se:

lim n a n b n = L

Sendo L um número finito, então as duas séries associadas a a n e b n convergem ou divergem juntas.

Aqui, podemos comparar com o termo da série harmônica ( 1 / n ), que nos dará o limite: lim n 2 n - 1 1 / n

Vimos que:

lim n 2 1 n - 1 = 0

E também:

lim n 1 n = 0

Logo, temos uma situação do tipo " 0 / 0 " e podemos usar a regra de L’Hôpital. Derivando em cima e embaixo, vamos ter: lim n 2 n - 1 1 / n = lim n 2 n - 1 ' 1 / n '

O problema aqui pode ser justamente: 2 n - 1 ' = 2 n '

Para isso, vamos considerar: y = 2 n = 2 1 / n

y = 2 1 / n

Assim, vamos ter: log 2 y = log 2 2 1 / n

log 2 y = 1 n

ln y ln 2 = 1 n

E então, derivamos implicitamente:

ln y ln 2 ' = 1 n '

1 y ln 2 y ' = - 1 n 2

Logo:

y ' = - 1 n 2 y ln 2

Como definimos justamente:

y = 2 n

Temos que: 2 n - 1 ' = 2 n ' = - 1 n 2 ln 2 2 n

E podemos substituir isso no nosso limite, ficando:

lim n 2 n - 1 ' 1 / n ' = lim n - 1 n 2 ln 2 2 n - 1 n 2 = l i m n ln 2 2 n = ln 2

Então o limite deu um número finito, logo, como a série a harmônica diverge, temos que

n = 1 2 n - 1

Diverge também.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Além disso, todos os termos da série são positivos, logo a série absoluta é igual a série dada e, como a série diverge, a série absoluta também irá divergir.

Resposta

n = 1 2 n - 1

Diverge.

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