Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

UFRJ, Cálculo 4, PF - 2018.2, Questão 1a

Questão 1: Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo.

m = 1 sin 1 m 2

Passo 1

Pois então, para estudar essa série, eu não sei você, mas estou pressentindo que ela converge. Mas de onde eu tirei esse feeling? Será que virei mãe ganhei um sexto sentido? (rsrsrs )

Na verdade não, se você perceber tem uma espécie de 1 / m 2 e dentro de um somatório é a série:

m = 1 1 m 2

Uma série p = 2 e, portanto convergente! Então, é bem razoável pensar que essa série daqui convirja também:

m = 1 sin 1 m 2

Uma forma de verificar é comparar essas duas séries de uma maneira mais formal sem precisar recorrer ao sexto sentido de mãe: podemos verificar com o teste da comparação no limite. Vamos nessa?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nesse teste, de acordo com a teoria, basicamente devemos pegar o termo geral da série testada e comparar (dividir) com o termo geral da série de teste no limite, dessa forma aqui:

lim m sin 1 m 2 / 1 m 2

Onde sin 1 m 2 é o termo da série testada e   1 / m 2 , da série de teste. Se esse limite der um número, então, assim como a série p , a série que estamos testando deve convergir, entende? Então vejamos:

lim m sin 1 m 2 1 m 2

Fazendo uma mudança x = 1 m 2 e considerando que no infinito o x 0 ...

lim x 0 sin x x = 1

Então a série...

m = 1 sin 1 m 2             c o n v e r g e !

Além disso, como:

sin 1 m 2 = sin 1 m 2

Para m 1 , a série converge absolutamente. Porque 0 < 1 m 2 1 , ou seja, os argumentos do seno estão todos no primeiro quadrante.

Resposta

m = 1 sin 1 m 2             c o n v e r g e   a b s o l u t a m e n t e !

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas