Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

USP, Cálculo 4, P1 - 2012, Questão 2b

Seja q > 0 um número real fixado. Determine todos os valores de p > q para os quais a série

n = 2 1 n p - n q

Converge.

Passo 1

Repara que temos no nosso termo geral um polinômio, vamos colocar o maior grau em evidência

a n = 1 n p 1 - n q n p = 1 n p 1 - n q - p

Vamos usar o teste da comparação no limite a p série

b n = 1 n p

Assim vamos ter

lim n a n b n = lim n 1 n p 1 - n q - p 1 n p = lim n 1 1 - n q - p

Como ele disse que p > q então q - p < 0

E vamos ter

lim n 1 1 - n q - p = 1 1 + 0 = 1

Então a nossa série tem a mesma convergência da p série.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como ela tem a mesma convergência da p série, vamos ter

n = 2 1 n p - n q = C o n v e r g e s e p > 1 D i v e r g e s e p 1

Resposta

n = 2 1 n p - n q = C o n v e r g e s e p > 1 D i v e r g e s e p 1

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