Seja q > 0 um número real fixado. Determine todos os valores de p > q para os quais a série

∑ n = 2 ∞ 1 n p - n q

Converge.

Passo 1

Repara que temos no nosso termo geral um polinômio, vamos colocar o maior grau em evidência

a n = 1 n p 1 - n q n p = 1 n p 1 - n q - p

Vamos usar o teste da comparação no limite a p série

b n = 1 n p

Assim vamos ter

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n p 1 - n q - p 1 n p = lim n → ∞ ⁡ 1 1 - n q - p

Como ele disse que p > q então q - p < 0

E vamos ter

lim n → ∞ ⁡ 1 1 - n q - p = 1 1 + 0 = 1

Então a nossa série tem a mesma convergência da p série.

Passo 2

Como ela tem a mesma convergência da p série, vamos ter

∑ n = 2 ∞ 1 n p - n q = C o n v e r g e s e p > 1 D i v e r g e s e p ≤ 1

Resposta

∑ n = 2 ∞ 1 n p - n q = C o n v e r g e s e p > 1 D i v e r g e s e p ≤ 1

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Teste a convergência ou divergência das séries. ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1