Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

UNICAMP, Cálculo 1, P1 - 2015.2, Questão 5

Encontre as assíntotas horizontais e verticais, caso existam, da função

f x = x 2 - 16 x 2 + x - 20

Passo 1

Vamos começar pelas assíntotas verticais.

É sempre bom simplificar a função quando possível, no caso com fatorações.

Repare que x 2 - 16 = x - 4 x + 4 e x 2 + x - 20 = x + 5 x - 4 . Logo:

f x = x 2 - 16 x 2 + x - 20 = x - 4 x + 4 x + 5 x - 4

Assumindo que x - 4 0 x 4 , isso dá:

f x = x + 4 x + 5

Vemos que f é descontínua em x = - 5 . Então nosso candidato a assíntota vertical é x = - 5 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Só pra ficar claro porque x = 4 não é candidato a assíntota: como pudemos cortar o x - 4 da expressão da função, os limites laterais em x = 4 não vão explodir pro infinito.

lim x 4 - f x = lim x 4 - x 2 - 16 x 2 + x - 20

= lim x 4 - x - 4 x + 4 x + 5 x - 4 = lim x 4 - x + 4 x + 5 = 8 9

E o outro limite lateral dá a mesma coisa.

Passo 3

Agora testemos o limite lateral com x - 5 - :

lim x - 5 - f x = lim x - 5 - x + 4 x + 5 = +

Isso já basta pra provar que x = - 5 é uma assíntota vertical de f . Mas também poderíamos testar o outro limite lateral:

lim x - 5 + f x = lim x - 5 + x + 4 x + 5 = -

Passo 4

Agora vamos pras assíntotas horizontais.

Pra isso temos que calcular os limites de f no infinito. Aproveitando os resultados anteriores, temos:

lim x - x 2 - 16 x 2 + x - 20 = lim x - x + 4 x + 5

= lim x - x 1 + 4 x x 1 + 5 x = lim x - 1 + 4 x 1 + 5 x = 1 1 = 1

Com exatamente as mesmas contas, temos

lim x + x 2 - 16 x 2 + x - 20 = 1

Logo, y = 1 é uma assíntota horizontal de f .

Resposta

Assíntota vertical: x = - 5

Assíntota horizontal: y = 1

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