Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 1, Questão 9

  1. Achar o volume do sólido limitado superiormente pela esfera   x 2 + y 2 + z 2 = 4 , inferiormente pelo plano z = 0 e lateralmente pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

Pow! O problema nos pediu um volume de sólido, e a essa altura, podemos calcular um volume utilizando uma... I n t e g r a l   D u p l a   : )

V o l u m e = D   f x ,   y d A

Mas veja que para resolver essa integral aí necessitamos de algumas informações:

  • Quem é o f ( x ,   y ) ?
  • Quem é a região de integração D ?
  • Para ambas as perguntas, vamos encontrar as respostas no esboço do sólido no espaço. Bora?

    Passo 2

    Pois bem! O sólido que estamos trabalhando está delimitado pela esfera

    x 2 + y 2 + z 2 = 4

    Essa é uma esfera normal e de raio 2 :

    Mas não queremos toda a esfera, por isso o problema nos limita a esfera pelo plano z = 0 , ou melhor, o próprio plano X Y

    Além disso, lateralmente existe um cilindro de raio 1

    x 2 + y 2 = 1

    que corta o sólido.

    É como se fosse esse cortador aqui

    Sacou? E o sólido é justamente esse do interior deste cilindro:

    Passo 3

    Agora já conseguimos juntos aqui responder a primeira pergunta:

  • Quem é o f ( x ,   y ) ?
  • Afinal de contas você já sabe que essa função aí é a função que representa a superfície “teto” do sólido, certo?

    E quem é essa superfície?

    Exato! O pedacinho de esfera ;)

    Como a esfera tem essa equação aqui x 2 + y 2 + z 2 = 4 , precisamos mexer um pouquinho nela a transformando nessa função de x e y , bastando isolar o z no caso...

    x 2 + y 2 + z 2 = 4                                   z 2 = 4 - x 2 + y 2

    z = ± 4 - x 2 + y 2

    como o teto esta em cima...

    f x , y = 4 - x 2 + y 2

    Passo 4

    Quanto a essa pergunta aqui...

  • Quem é a região de integração D ?
  • como x e y são as variáveis principais, devemos encontrar essa região na “sombra” do sólido S no plano X Y .

    Essa sombra, ou melhor, projeção, é circular e delimitada pelo cilindro que no plano z = 0 nos dá essa circunferência

    As variáveis x e y estão dentro desse circulo D aqui

    Passo 5

    Pow! Estamos trabalhando com uma região circular... ou seja... vamos utilizar as coordenadas polares:

    x = r cos θ

    y = r sin θ

    Uma equação que nos ajuda muito é a equação da circunferência...

    x 2 + y 2 = r 2

    E, claro, o Jacobiano:

    J = r

    Para encontrar os limites de r e θ , basta que olhemos novamente para a região D

    para que possamos notar que r varia de 0 até o raio da circunferência azul

    0 r 1

    e θ dá uma volta completa:

    0 θ 2 π

    Passo 6

    Nessa mudança é fundamental não se esquecer de trocar a função que estamos trabalhando pelas novas coordenadas:

    f x ,   y = 4 - x 2 + y 2

    substituindo...

    4 - r 2

    não se esqueça de multiplicar pelo J a c o b i a n o , heim!

    r 4 - r 2

    Logo essa é a função que estamos trabalhando agora

    Passo 7

    Montando a integral, agora, com todos os dois dados principais:

  • r 4 - r 2
  • D : 0 r 1

0 θ 2 π

D   f x ,   y d A = 0 2 π 0 1 r 4 - r 2   d r d θ

Resolvendo primeiro a integral de dentro...

V o l u m e = 0 2 π 0 1 r 4 - r 2 d r   d θ

Pow! Essa integral de dentro aí pode ser resolvida caso façamos uma troca:

4 - r 2 = t

d t =   - 2 r   d r                       r d r = - d t 2

antes de substituirmos, não esqueça de trocar os limites também

r = 0                                   t = 4 - 0 2 = 4

r = 1                                   t = 4 - 1 2 = 3

0 2 π 0 1 r 4 - r 2 d r   d θ = 0 2 π 4 3 t - d t 2   d θ

esse menos aí dentro some se invertemos esses limites de dentro

0 2 π 3 4 t d t 2   d θ =

integrando...

0 2 π t 3 2 3 3 4   d θ =

0 2 π 4 3 2 3 - 3 3 2 3 d θ =

0 2 π 4 4 3 - 3 3 3 d θ = 0 2 π 8 3 - 3 d θ =

8 3 - 3 0 2 π d θ =

integrando a última...

8 3 - 3   θ 0 2 π =

2 π 8 3 - 3

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Resposta

2 π 8 3 - 3

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