Use uma integral dupla para calcular a área das seguintes regiões. Faça um esboço da região.

a) A região limitada pela parábola y = x 2 e a reta y = 4 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a área da região entre a parábola y = x 2 e a reta y = 4 . Vamos começar fazendo o esboço da região, pra gente entender como é essa área.

Então, nós vamos usar uma integral dupla, usando os pontos onde a reta e a parábola se interceptam como limites de integração em x e as curvas y = x 2 e a reta y = 4 como limites de integração em y , para obter a área do gráfico em amarelo. A fórmula para esses casos é:

A = ∬ R d A

Onde R é a nossa região de integração.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar descobrindo os pontos onde as curvas de encontram, igualando a equação das duas:

x 2 = 4

Assim,

x = ± 4 = ± 2

Então, a reta intercepta a parábola em x = - 2 e x = 2 . Esses são nossos limites de integração em x , eles limitam nossa área horizontalmente. Agora perceba que verticalmente, a região é limitada por y = x 2 e por y = 4 , então esses serão nossos limites de integração em y . Ou seja:

- 2 ≤ x ≤ 2

x 2 ≤ y ≤ 4

Assim, temos a integral de área:

A = ∫ - 2 2 ∫ x 2 4 d y d x

Integrando primeiro em relação a y , temos:

A = ∫ - 2 2 y x 2 4 d x

Aplicando os limites de integração:

A = ∫ - 2 2 4 - x 2 d x

Integrando agora em relação a x , vamos ter:

A = 4 x - x 3 3 - 2 2

Aplicando os limites de integração em x :

A = 4 2 - 2 3 3 - 4 - 2 - - 2 3 3

A = 8 - 8 3 + 8 - 8 3

E temos nossa área:

A = 32 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 32 3

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